G: Anak-anak, hari ini aku memiliki sesuatu yang menarik untuk kalian pecahkan
G: Apa itu Pak?
G: x2 + 2x – 8 = 0.
A: Makhluk apa itu Pak? Disuruh ngapain?
G: Sebuah persamaan. Silahkan kalian temukan nilai x!
A: Saya sudah menemukannya Pak
G: Bagus, sangat kreatif dan lucu
A: Hahahaha....
G: Temukan himpunan penyelesaian yang memenuhi persamaan x2 + 2x – 8 = 0.
A: Maksudnya mencari nilai x yang tepat supaya ruas kiri sama dengan ruas kanan?
G: Nah, itu paham..
A: Sebentar Pak, apakah sama antara x2 dengan 2x?
G: x2 itu yaitu x*x sedangkan 2x itu yaitu 2*x.
A: Oh...jadi beda ya.
A: Bisakah menciptakan ruas kiri hanya "x" saja Pak?
G: Silahkan kau coba
A:
x2 + 2x – 8 = 0 tambahkan 8 ke ruas kiri dan ruas kanan
x2 + 2x = 8 faktorkan ruas kiri
x (x + 2) = 8
G: Bagus!
A: Makara aku harus menemukan 2 bilangan yang hasil kalinya 8 dan selisihnya 2.
G: Nah...
A: 2 * 4 = 8.
G: Cerdas kamu!
A: dan (-2) * (-4) = 8.
G: -2 dan -4 selisihnya yaitu 2, sippp...
A: Makara nilai x yang memenuhi yaitu x = 2 atau x = -4.
G: Jenius, coba aku cek lebih dulu
untuk x=2 maka 22 + 2*2 – 8 = 4 + 4 – 8 = 0. Cocok!
A: Coba yang satunya lagi Pak
G: Baik. (-4)2 + 2*(-4) – 8 = 16 – 8 – 8 = 0. Wow!
A: Baguuusss...
G: Saya belum pernah menemui penyelesaian soal persamaan kuadrat sebrilian ini!
A: Apa tadi Bapak menyebutnya, persamaan kuadrat?
G: Iya. Disebut persamaan kuadrat alasannya yaitu ada x2 . Bentuk umumnya yaitu ax2 + bx + c = 0.
A: Apa itu a, b, dan c Pak?
G: a itu menunjukkan seberapa banyak x2 yang kau punya.
A: Jadi, yang gres saja kita selesaikan tadi yaitu persamaan kuadrat dengan a = 1, b = 2, and c = 8?
G: Hampir tepat. c = -8, bukan 8.
A: Oh, iya
G: a, b, dan c dalam hal ini disebut sebagai koefisien.
A: Lagi Pak, lagi. Coba persamaan kuadrat yang lain!
G: Sebentar ya, aku mau minum dulu.
Lima menit kemudian...
G: Bagaimana, hingga mana tadi?
A: Bapak turun di mana?
G: :) Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat x2 + 2x – 9 = 0.
A: Caranya sama dengan yang tadi Pak?
G: Iya
A: Makara begini:
x2 + 2x – 9 = 0 tambahkan 9 ke tiap ruas
x2 + 2x = 9 faktorkan ruas kiri
x * (x + 2) = 9
G: Bagus, lanjuttt!
A: 2 * 4 = 8 and 3 * 5 = 15 maka nilai x lebih akrab pada 2 daripada 3.
G: Menarik ini..
A: Sekarang bila aku coba x=2.1 maka 2.1 * 4.1 = 8.61
G: Hampir mendekati!
A: 2.2 * 4.2 = 9.24. Nah, jawabannya niscaya diantara 2.1 and 2.2.
G: Excellent! Oiya, tadi di awal siapa yang bertanya bisakah mendapat x saja pada ruas kiri?
A: Saya pak
G: Nah, bagaimana bila persamaan tadi, tiap ruas dibagi dengan (x + 2). Apa yang kau dapat?
A: x = 9/(x + 2).
A: Lalu apa?
...
A: Bagaimana bila kita gambar memakai GeoGebra Pak?
G: Nanti dulu ya..
A: Makanan apa itu GeoGebra?
A: Ketikkan soalnya di WolframAlpha.com lalu enter malah lebih simpel
A: Apa itu wolfram??
A: Alamat website untuk menuntaskan soal matematika
G: Wow, kelihatannya menarik!
G: Tapi itu besok saja. Hari ini kita harus sanggup menemukan solusi dari permasalahan persamaan kuadrat tadi tanpa memakai kalkulator, GeoGebra, WolframAlpha ataupun excel.
A: Sudah mentok Pak.
G: Mari kita coba lagi, siapa tahu beruntung.
A: Ada cara lain yang lebih gampang Pak?
G: Idenya begini. Jadi, selain menambah, mengurangi, mengali dan membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama, kita juga sanggup menarik akar kuadrat.
A: Maksudnya?
G: Jika soalnya aku sederhanakan menjadi x2 = 9 dapatkah kau menyelesaikannya?
A: 3 kuadrat sama dengan 9. Makara nilai x=3.
G: Bagaimana dengan x=-3?
A: Oh iya. -3 kuadrat juga sama dengan 9. Makara x = 3 atau x = -3.
G: Nah, kini kita beranjak ke yang sedikit lebih rumit ketimbang x2 = 9.
A: Soal yang tadi Pak, x2 + 2x – 9 = 0.
G: Berapakah akar-akar persamaan kuadrat x2 + 2x – 9?
A: Blank Pak. Bagaimana membuatnya menjadi bentuk akar?
G: Sekarang aku tanya, bagaimana dengan x2 + 2x + 1?
A: Sama saja Pak. Bagaimana menemukan angka yang pas untuk soal itu
G: Mungkin bukan angka. Coba bila x + 1?
A: (x + 1)2 = x2 + 1.
G: Bagaimana caramu menemukannya?
A: x kuadrat sama dengan x2 dan 1 kuadrat sama dengan 1.
G: Oh. Coba kini kau cek dengan mengalikan (x + 1) dengan (x + 1).
A: Baik Pak. (x + 1)(x + 1) = x2 + x + x + 1 = x2 + 2x + 1.
G: Apakah jadinya sama dengan jawabanmu di awal tadi?
A: Beda Pak. Yang di awal tadi salah.
G: Sip...
A: Tapi soalnya yaitu x2 + 2x -9 bukan x2 + 2x + 1!
G: Ah, tidak masalah. Bisa diakali!
A: Apa nggak dosa Pak?
G: Insya Allah halal.
A: Amiin..!
G: Makara begini: x2 + 2x – 9 = x2 + 2x + 1 – 10 = (x + 1)2 – 10.
A: Kok jadi tambah rumit? Malah ada -10.
G: Tambahkan 10 ke tiap ruas, dan sim salabim... bermetamorfosis (x + 1)2= 10.
A: Nah, aku tahu. Sekarang tarik akar kuadrat di tiap ruas!
G: Menjadi x + 1 = √10 atau x + 1 = -√10.
A: Kenapa ada -√10?
G: Apa kau lupa dengan -3 kuadrat sama dengan 3 kuadrat?
A: Eh, iya.
G: Makara solusi dari persamaan kuadrat tadi yaitu x = √10 – 1 atau x = -√10 – 1.
A: Horee...!
G: Horee...!
A: Akhirnya tamat juga.
A: Makan-makan..
Catatan:
1. Memfaktorkan => (x-a) (x-b) = 0
Contoh :
a. x2 + 12x +32 = 0 => (x + 4) ( x + 8) => x = -4 atau x = -8
b. x2 + x – 56 = 0 => (x + 8) (x – 7) => x = -8 atau x = 7
c. x2 -6x – 27 = 0 => (x – 9) (x + 3) => x = 9 atau x = -3
d. 2x2 – 5x – 3 = 0 => (2x – 1) (x + 3) => x =1/2 atau x = -3
e. 3x2 – 6x = 0 => 3x(x – 2) => x =0 atau x = 2
x2 + 8x = -12
x2 + 8x + (1/2 . 8)2 = -12 + (1/2 . 8)2
x2 + 8x + 16 = -12 + 16
(x + 4)2 = 4
x + 4 = ±√4
x = -4 ± 2
3. Rumus ABC => x1,2 = { -b ± √(b2 - 4ac) } / 2a
= { -8 ± √(64 – 20) } / 2
G: Apa itu Pak?
G: x2 + 2x – 8 = 0.
A: Makhluk apa itu Pak? Disuruh ngapain?
G: Sebuah persamaan. Silahkan kalian temukan nilai x!
A: Saya sudah menemukannya Pak
G: Bagus, sangat kreatif dan lucu
A: Hahahaha....
G: Temukan himpunan penyelesaian yang memenuhi persamaan x2 + 2x – 8 = 0.
A: Maksudnya mencari nilai x yang tepat supaya ruas kiri sama dengan ruas kanan?
G: Nah, itu paham..
A: Sebentar Pak, apakah sama antara x2 dengan 2x?
G: x2 itu yaitu x*x sedangkan 2x itu yaitu 2*x.
A: Oh...jadi beda ya.
A: Bisakah menciptakan ruas kiri hanya "x" saja Pak?
G: Silahkan kau coba
A:
x2 + 2x – 8 = 0 tambahkan 8 ke ruas kiri dan ruas kanan
x2 + 2x = 8 faktorkan ruas kiri
x (x + 2) = 8
G: Bagus!
A: Makara aku harus menemukan 2 bilangan yang hasil kalinya 8 dan selisihnya 2.
G: Nah...
A: 2 * 4 = 8.
G: Cerdas kamu!
A: dan (-2) * (-4) = 8.
G: -2 dan -4 selisihnya yaitu 2, sippp...
A: Makara nilai x yang memenuhi yaitu x = 2 atau x = -4.
G: Jenius, coba aku cek lebih dulu
untuk x=2 maka 22 + 2*2 – 8 = 4 + 4 – 8 = 0. Cocok!
A: Coba yang satunya lagi Pak
G: Baik. (-4)2 + 2*(-4) – 8 = 16 – 8 – 8 = 0. Wow!
A: Baguuusss...
G: Saya belum pernah menemui penyelesaian soal persamaan kuadrat sebrilian ini!
A: Apa tadi Bapak menyebutnya, persamaan kuadrat?
G: Iya. Disebut persamaan kuadrat alasannya yaitu ada x2 . Bentuk umumnya yaitu ax2 + bx + c = 0.
A: Apa itu a, b, dan c Pak?
G: a itu menunjukkan seberapa banyak x2 yang kau punya.
A: Jadi, yang gres saja kita selesaikan tadi yaitu persamaan kuadrat dengan a = 1, b = 2, and c = 8?
G: Hampir tepat. c = -8, bukan 8.
A: Oh, iya
G: a, b, dan c dalam hal ini disebut sebagai koefisien.
A: Lagi Pak, lagi. Coba persamaan kuadrat yang lain!
G: Sebentar ya, aku mau minum dulu.
Lima menit kemudian...
G: Bagaimana, hingga mana tadi?
A: Bapak turun di mana?
G: :) Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat x2 + 2x – 9 = 0.
A: Caranya sama dengan yang tadi Pak?
G: Iya
A: Makara begini:
x2 + 2x – 9 = 0 tambahkan 9 ke tiap ruas
x2 + 2x = 9 faktorkan ruas kiri
x * (x + 2) = 9
G: Bagus, lanjuttt!
A: 2 * 4 = 8 and 3 * 5 = 15 maka nilai x lebih akrab pada 2 daripada 3.
G: Menarik ini..
A: Sekarang bila aku coba x=2.1 maka 2.1 * 4.1 = 8.61
G: Hampir mendekati!
A: 2.2 * 4.2 = 9.24. Nah, jawabannya niscaya diantara 2.1 and 2.2.
G: Excellent! Oiya, tadi di awal siapa yang bertanya bisakah mendapat x saja pada ruas kiri?
A: Saya pak
G: Nah, bagaimana bila persamaan tadi, tiap ruas dibagi dengan (x + 2). Apa yang kau dapat?
A: x = 9/(x + 2).
A: Lalu apa?
...
A: Bagaimana bila kita gambar memakai GeoGebra Pak?
G: Nanti dulu ya..
A: Makanan apa itu GeoGebra?
A: Ketikkan soalnya di WolframAlpha.com lalu enter malah lebih simpel
A: Apa itu wolfram??
A: Alamat website untuk menuntaskan soal matematika
G: Wow, kelihatannya menarik!
G: Tapi itu besok saja. Hari ini kita harus sanggup menemukan solusi dari permasalahan persamaan kuadrat tadi tanpa memakai kalkulator, GeoGebra, WolframAlpha ataupun excel.
A: Sudah mentok Pak.
G: Mari kita coba lagi, siapa tahu beruntung.
A: Ada cara lain yang lebih gampang Pak?
G: Idenya begini. Jadi, selain menambah, mengurangi, mengali dan membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama, kita juga sanggup menarik akar kuadrat.
A: Maksudnya?
G: Jika soalnya aku sederhanakan menjadi x2 = 9 dapatkah kau menyelesaikannya?
A: 3 kuadrat sama dengan 9. Makara nilai x=3.
G: Bagaimana dengan x=-3?
A: Oh iya. -3 kuadrat juga sama dengan 9. Makara x = 3 atau x = -3.
G: Nah, kini kita beranjak ke yang sedikit lebih rumit ketimbang x2 = 9.
A: Soal yang tadi Pak, x2 + 2x – 9 = 0.
G: Berapakah akar-akar persamaan kuadrat x2 + 2x – 9?
A: Blank Pak. Bagaimana membuatnya menjadi bentuk akar?
G: Sekarang aku tanya, bagaimana dengan x2 + 2x + 1?
A: Sama saja Pak. Bagaimana menemukan angka yang pas untuk soal itu
G: Mungkin bukan angka. Coba bila x + 1?
A: (x + 1)2 = x2 + 1.
G: Bagaimana caramu menemukannya?
A: x kuadrat sama dengan x2 dan 1 kuadrat sama dengan 1.
G: Oh. Coba kini kau cek dengan mengalikan (x + 1) dengan (x + 1).
A: Baik Pak. (x + 1)(x + 1) = x2 + x + x + 1 = x2 + 2x + 1.
G: Apakah jadinya sama dengan jawabanmu di awal tadi?
A: Beda Pak. Yang di awal tadi salah.
G: Sip...
A: Tapi soalnya yaitu x2 + 2x -9 bukan x2 + 2x + 1!
G: Ah, tidak masalah. Bisa diakali!
A: Apa nggak dosa Pak?
G: Insya Allah halal.
A: Amiin..!
G: Makara begini: x2 + 2x – 9 = x2 + 2x + 1 – 10 = (x + 1)2 – 10.
A: Kok jadi tambah rumit? Malah ada -10.
G: Tambahkan 10 ke tiap ruas, dan sim salabim... bermetamorfosis (x + 1)2= 10.
A: Nah, aku tahu. Sekarang tarik akar kuadrat di tiap ruas!
G: Menjadi x + 1 = √10 atau x + 1 = -√10.
A: Kenapa ada -√10?
G: Apa kau lupa dengan -3 kuadrat sama dengan 3 kuadrat?
A: Eh, iya.
G: Makara solusi dari persamaan kuadrat tadi yaitu x = √10 – 1 atau x = -√10 – 1.
A: Horee...!
G: Horee...!
A: Akhirnya tamat juga.
A: Makan-makan..
Catatan:
Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
ax2 + bx + c = 0 (a,b,c € R) dan a ≠ 0Cara menuntaskan persamaan kuadrat
1. Cara menuntaskan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan
2. Cara menuntaskan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna
3. Cara menuntaskan persamaan kuadrat dengan rumus ABC
2. Cara menuntaskan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna
3. Cara menuntaskan persamaan kuadrat dengan rumus ABC
1. Memfaktorkan => (x-a) (x-b) = 0
Contoh :
a. x2 + 12x +32 = 0 => (x + 4) ( x + 8) => x = -4 atau x = -8
e. 3x2 – 6x = 0 => 3x(x – 2) => x =0 atau x = 2
2. Melengkapi Kuadrat Sempurna => (x - p)2 = q
Langkah-langkah penyelesaian persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat tepat yaitu :
1. Koefisien x2 harus 1
2. Konstanta pindah ke ruas kanan {-> x2 + mx = n
3. Diubah ke bentuk kuadrat tepat (x + p)2 = q
Contoh :
a. x2 + 8x + 12 = 0 x2 + 8x = -12
x2 + 8x + (1/2 . 8)2 = -12 + (1/2 . 8)2
x2 + 8x + 16 = -12 + 16
(x + 4)2 = 4
x + 4 = ±√4
x = -4 ± 2
x = -6 , -2
3. Rumus ABC => x1,2 = { -b ± √(b2 - 4ac) } / 2a
Contoh :
a. x2 + 8x + 5 => x1,2 = { -8 ± √(82 – 4.1.5) } / 2.1 = { -8 ± √(64 – 20) } / 2
= ( -8 ± √39 ) / 2
Penjumlahan dan perkalian akar penyelesaian persamaan kuadrat
dari x1,2 = { -b ± √(b2 - 4ac) } / 2a dengan D = b2 - 4ac maka x1 = (-b + √D) / 2a dan x2 = (-b - √D) / 2a
* D yaitu Deskriminan
1. x1 + x2 = {(-b + √D) / 2a} + {(-b - √D) / 2a}
= (-b + √D - b - √D) / 2a
= -2b / 2a
= -b /a
Jadi, x1 + x2 = -b/a
2. x1 - x2 = {(-b + √D) / 2a} - {(-b - √D) / 2a}
= (-b + √D + b + √D) / 2a
= 2√D / 2a
= √D /a
Jadi, x1 - x2 = √D/a
3. x1 . x2 = {(-b + √D) / 2a} {(-b - √D) / 2a}
= (b2 - D) / 4a2
= b2 - (b2 - 4ac) / 4a2
= (b2 - b2 + 4ac) / 4a2
= 4ac / 4a2
= c/a
Jadi, x1 . x2 = c/a
4. (x1 + x2)2 = x12 + 2(x1 . x2) + x22
(x1 + x2)2 - 2(x1 . x2) = x12 + x22
Jadi, x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2(x1 . x2)
5. (x1 + x2)3 = x13+ 3x12. x2 + 3x1 . x22 + x23
(x1 + x2)3 - 3x12. x2 + 3x1 . x22 = x13 + x23
(x1 + x2)3 - 3x1.x2(x1 + x2) = x13 + x23
Jadi, x13 + x23 = (x1 + x2)3 - 3x1.x2(x1 + x2)
4. (x1 + x2)2 = x12 + 2(x1 . x2) + x22
(x1 + x2)2 - 2(x1 . x2) = x12 + x22
Jadi, x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2(x1 . x2)
5. (x1 + x2)3 = x13+ 3x12. x2 + 3x1 . x22 + x23
(x1 + x2)3 - 3x12. x2 + 3x1 . x22 = x13 + x23
(x1 + x2)3 - 3x1.x2(x1 + x2) = x13 + x23
Jadi, x13 + x23 = (x1 + x2)3 - 3x1.x2(x1 + x2)
contoh soal!
1. Persamaan kuadrat -2x2 +4x-5=0 akar2nya α dan β
Tentukan : a. α + β d. α3 + β3
b. α . β e. 1/α + 1/β
c. α2 + β2 f. 1/(α+2) + 1/(β+2)
Jawaban :
a. α + β = -b/a = 2
b. α . β = c/a = 5/2
c. α2 + β2 = (α + β)2 - 2(α . β)
= 22 - 2.5/2
= 4 - 5
= -1
d. α3 + β3 = (α + β)3 - 3α.β (α+β )
= 23 - 3.5/2.2 = 8 - 15
= -7
e. 1/α + 1/β = (α + β) / αβ
= 2 / (5/2)
= 4/5
f. 1/(α+2) + 1/(β+2) = {(α+2) + (β+2)} / {(α+2) (β+2)}
= {(α+β) + 4} / {α.β + 2(α+β) + 4}
= (2+4) / (5/2 + 2.2 + 4)
= 6 / (21/2)
= 12/21
= 4/7
No comments:
Post a Comment