Silahkan anda pelajari bahan peluang ini yang saya sajikan secara ringkas melalui contoh-contoh sederhana.
A. KAIDAH PENCACAHAN
1. Aturan Pengisian Tempat
Andi diundang menghadiri program ulang tahun temannya. Andi memiliki tiga buah baju dua buah celana.
Baju : Merah, Kuning, Ungu
Celana : Hitam, Biru
Ada berapa cara Andi sanggup mamasang-masangkan baju dan celananya?
Penyelesaian:
Banyaknya pasangan celana dan baju yang sanggup digunakan Andi ada 6 yaitu:
{(hitam, kuning), (hitam, merah), (hitam, ungu),(biru, kuning), (biru, merah), (biru, ungu)}
2. Faktorial
Definisi:
n! = 1 × 2 × 3 × …× (n – 2) × (n – 1) × n atau
n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 × 1
1! = 1 dan 0! = 1
Untuk lebih memahami wacana faktorial, perhatikan pola berikut.
1. 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720
2. 3! × 2 ! = 3 × 2 × 1 × 2 × 1 = 6 × 2 = 12
7! 7×6×5×4×3×2×1
3. —— = ———————— = 7 × 6 × 5 = 210
4! 4×3×2×1
3. Permutasi
Dari 5 orang calon pengurus akan dipilih 3 orang untuk menempati posisi sebagai ketua, sekretaris, dan bendahara. Ada berapa banyak cara menentukan pengurus ?
Penyelesaian:
Untuk menjawab hal tersebut marilah kita gambarkan 3 daerah kosong yang akan diisi dari 5 calon pengurus yang tersedia.
5 | x | 4 | x | 3 |
Kotak (b) sanggup diisi dengan 4 calon lantaran 1 calon sudah diisikan di kotak (a).
Kotak (c) sanggup diisi dengan 3 calon lantaran 2 calon sudah diisikan di kotak sebelumnya.
Sehingga banyaknya susunan pengurus kelas ialah 5 × 4 × 3 = 60.
Susunan semacam ini disebut permutasi lantaran urutannya diperhatikan, lantaran ketua, sekretaris, bendahara tidak sama dengan sekretaris, ketua, bendahara.
a. Permutasi r unsur dari n unsur berbeda
Permutasi pada pola ini disebut permutasi 3 dari 5 unsur dan
dinotasikan dengan P(5.3) atau 5P3, sehingga:
5P3 = 5 × 4 × 3
= 5 × (5 – 1) × (5 – 2)
= 5 × (5 – 1) × …..× (5 – 3 + 1),
Secara umum sanggup diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
Banyaknya permutasi dari n unsur diambil r unsur dinotasikan:
nPr = n (n – 1) (n – 2) (n – 3) … (n – r + 1)
Atau sanggup juga ditulis:
(n – r) (n – r – 1) … 3.2.1
nPr =n (n – 1) (n – 2) (n – 3) … (n – r + 1) x ——————————
(n – r) (n – r – 1) … 3.2.1
n (n – 1) (n – 2) (n – 3) … (n – r + 1)(n – r) (n – r – 1) … 3.2.1
nPr =——————————————————————————
(n – r) (n – r – 1) … 3.2.1
n!
nPr =————
(n – r)!
Contoh:
Akan disusun berjajar bendera negara-negara: Inggris, Prancis, Jerman, Belanda, Spanyol dan Yunani. Tentukan banyaknya cara memasang bendera tersebut kalau bendera Inggris dan Prancis harus selalu berdampingan !
Penyelesaian:
Banyaknya negara ada 6 tetapi Inggris dan Prancis harus berdampingan sehingga Inggris dan Prancis dihitung 1. Makara banyaknya negara ada 5,
untuk menyusun benderanya 5P5 = 5!
Inggris dan Prancis sanggup bertukar posisi sebanyak 2!
Banyaknya cara = 5! x 2!
= 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1
= 240
b. Permutasi Jika Ada Unsur yang Sama
Untuk menghitung banyaknya permutasi kalau ada unsur yang sama, marilah kita lihat pola berikut.
Berapakah banyaknya kata yang sanggup disusun dari huruf-huruf pembentuk kata: A, D, A, M ?
Penyelesaian:
Banyaknya kata = {(ADAM), (ADMA), (AMAD), (AMDA), (AAMD), (AADM), (DAAM), (DAMA), (DMAA), (MAAD), (MADA), (MDAA)}
ternyata banyaknya kata hanya ada 12, hal ini berbeda kalau tidak ada karakter yang sama banyaknya cara ada 4! = 24
Dari pola sanggup dijabarkan 12 = 4 × 3 atau permutasi 4 unsur dengan 2
4!
unsur sama ditulis: ——
2!
Secara umum banyaknya permutasi n unsur yang memuat k, l, dan m unsur yang sama sanggup ditentukan dengan rumus:
n!
P = ————
k! l! m!
Perhatikan simulasi berikut!
Contoh 6:
Berapakah banyaknya kata yang sanggup dibuat dari huruf-huruf pembentuk kata MATEMATIKA?
Penyelesaian:
MATEMATIKA
Banyak karakter =10
banyak M = 2
banyak A =3
banyak T = 2
10! 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
P = ———— = —————————————————
2! 3! 2! 2 x 1 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1
3628800
P = ———— = 151200
24
Banyaknya kata yang sanggup dibuat ada 151200 kata
c. Permutasi Siklis
Andi, Budi dan Candra hendak duduk mengelilingi sebuah meja. Berapakah banyak cara mereka sanggup duduk mengelilingi meja tersebut?
Kalau mereka duduk berjajar banyaknya cara ada 3! = 6 yaitu
{ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA}
Bagaimana kalau mereka mengelilingi sebuah meja ?
Kemungkinan 1 diperoleh bahwa ABC = CAB = BCA
Kemungkinan 2 diperoleh bahwa ACB = CBA = BAC
Sehingga banyak cara mereka duduk hanya ada 2 cara
ternyata banyaknya cara 3 orang duduk mengelilingi sebuah meja = (3 - 1)!
Secara umum banyaknya permutasi siklis sanggup ditentukan dengan rumus:
P= (n - 1)!
Contoh 7:
Berapakah banyaknya cara 8 orang sanggup duduk mengelilingi api unggun kalau 2 orang tertentu harus selalu berdampingan?
Penyelesaian:
Banyaknya orang ada 8 tetapi dua orang tertentu harus berdampingan (dihitung satu) sehingga banyaknya orang ada 7,
Permutasi siklis 7 orang = (7 - 1)!
Dua orang yang berdampingan sanggup bertukar posisi sebanyak 2!
Banyaknya cara = 6! x 2!
= 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1
= 1440
4. Kombinasi
Ada tiga sahabat yang gres bertemu sehabis sekian lama, mereka adalah
Adi, Budi, dan Candra. Saat bertemu mereka saling berjabat tangan, tahukah kau berapa banyak jabat tangan yang terjadi?
Adi berjabat tangan dengan Budi ditulis {Adi, Budi}.
Budi berjabat tangan dengan Adi ditulis {Budi, Adi}.
Antara {Adi, Budi} dan {Budi, Adi} menyatakan himpunan yang sama, hal ini disebut kombinasi. Di lain pihak {Adi, Budi}, {Budi, Adi} menunjukkan urutan yang berbeda yang berarti merupakan permutasi yang berbeda.
Dari pola sanggup diambil kesimpulan:
Permutasi = Adi – Budi, Adi – Candra, Budi – Adi,
Budi – Candra, Candra – Adi, Candra – Budi
= 6 lantaran urutan diperhatikan
Kombinasi = Adi – Budi, Adi – Candra, Budi – Candra
= 3 lantaran urutan tidak diperhatikan
6 permutasi
Kombinasi = 3 =—— = ——————
2 2
Makara kombinasi dari 3 unsur diambil 2 unsur ditulis:
3P2 3!
3C2 = —— = ————
2 2! (3 − 2)!
Secara umum sanggup disimpulkan bahwa:
Banyaknya kombinasi dari n unsur yang berbeda diambil r unsur
n
ditulis dengan C atau C(n. r) atau nCr, sehingga:
r
P n!
nCr =———— = ————
r! (n - r)! r!
Perhatikan pola soal berikut untuk lebih memahami wacana kombinasi.
Contoh 8:
1. Hitunglah nilai dari:
a. 8C4
b. 6C2 × 4C3
Penyelesaian:
8! 8! 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
a. 8C4 =———— =——— =———————————— = 70
(8 - 4)! 4! 4! 4! 4 x 3 x 2 x 1 x 4 x 3 x 2 x 1
6! 4! 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 4 x 3 x 2 x 1
b. 6C2 × 4C3 =———— x ———— =————————— x —————= 70
(6 - 2)! 2! (4 - 3)! 3! 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1 1 x 3 x 2 x 1
Penyelesaian:
10!
10C3 =—————
(10 - 3)! 3!
10!
=—————
7! 3!
10 x 9 x 8 x 7!
=——————
7! 3 x 2 x 1
720
=———
6
= 120
Contoh 10:
Dalam training bulutangkis terdapat 8 orang pemain putra dan 6 orang pemain
putri. Berapakah pasangan ganda yang sanggup diperoleh untuk:
a. ganda putra
b. ganda putri
c. ganda campuran
Penyelesaian:
a. Karena banyaknya pemain putra ada 8 dan dipilih 2, maka banyak cara ada:
8! 8 . 7 . 6 ! 56
8C2 =———— = ———— = —— = 28
(8 - 2)! 2! 6! . 2. 1 2
b. Karena banyaknya pemain putri ada 6 dan dipilih 2, maka banyak cara ada:
6! 6 . 5 . 4 ! 30
6C2 =———— = ———— = —— = 15
(6 - 2)! 2! 4! . 2. 1 2
c. Ganda adonan berarti 8 putra diambil satu dan 6 putri diambil 1, maka:
8! 6! 8! 6!
8C1 x 6C1 =———— x ———— = —— x —— = 8 x 6 = 48
(8 - 1)! 1! (6 - 1)! 1! 7! 5!
Contoh 11:
Dari 7 siswa putra dan 3 siswa putri akan dibuat tim yang beranggotakan 5 orang. Jika disyaratkan anggota tim tersebut paling banyak 2 orang putri, berapakah banyaknya cara mambentuk tim tersebut?
Penyelesaian:
Karena anggota tim ada 5 dan paling banyak 2 putri maka kemungkinannya adalah: 5 putra atau 4 putra 1 putri atau 3 putra 2 putri
Banyak cara menentukan 5 putra =7C5
Banyak cara menentukan 4 putra 1 putri =7C4 . 3C1
Banyak cara menentukan 3 putra 2 putri =7C3 . 3C2
Banyak cara = 7C5 + 7C4 . 3C1 + 7C3 . 3C2
7! 7! 3! 7! 3!
= ———— + ———— x ———— + ———— x ————
(7 - 5)! 5! (7 - 4)! 4! (3 - 1)! 1! (7 - 3)! 3! (3 - 2)! 2!
7 . 6 . 5! 7 . 6 . 5 . 4! 3 . 2 . 1 7 . 6 . 5 . 4! 3 . 2 . 1
= ———— + ————— x ——— + ————— x ————
2 . 1 . 5! 3 . 2 . 1 . 4! 2 . 1 4! . 3 . 2 . 1 2 . 1
= 105 + 105 + 21 = 231
Makara banyaknya cara membentuk tim ada 231 cara
B. RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN
1. Ruang Sampel
Tahukah kamu, apa saja yang mungkin muncul dikala sebuah dadu dilempar sekali ?
Kemungkinan yang muncul ialah mata dadu 1, 2, 3, 4, 5 atau 6.
Makara banyaknya himpunan semua kejadian yang mungkin pada pelemparan sebuah dadu sekali ada 6.
Himpunan semua kejadian yang mungkin dari suatu percobaan disebut Ruang Sampel atau Ruang Contoh biasa diberi lambang karakter S
Bagaimana kalau sebuah koin uang logam dilemparkan sekali, apa saja yang mungkin muncul?
S = {Angka, gambar}
n(S) = 2
2. Kejadian
Kejadian merupakan himpunan belahan dari ruang sampel.
Contoh 14:
Dua buah dadu dilemparkan bersamaan sekali, tentukan kejadian munculnya
a. jumlah kedua dadu 10
b. selisih kedua dadu 3
c. jumlah kedua dadu 5 dan selisihnya 1
d. jumlah kedua dadu 4 atau selisihnya 5
Penyelesaian:
Untuk mengerjakan soal ini kita lihat tanggapan pola 13.
a. Jumlah kedua dadu 10 ={(4, 6), (5, 5), (6, 4)}
Makara banyaknya kejadian ada 3
b. Selisih kedua dadu 3 ={(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 1), (5, 2), (6, 3)}
Makara banyaknya kejadian ada 6
c. Jumlah kedua dadu 5 dan selisihnya 1 ={(2, 3), (3, 2)}
Makara banyaknya kejadian ada 2
d. Jumlah kedua dadu 4 atau selisihnya 5 ={(1, 3), (2, 2), (3, 1), (1, 6), (6, 1}
Makara banyaknya kejadian ada 5
1. Ruang Sampel
Tahukah kamu, apa saja yang mungkin muncul dikala sebuah dadu dilempar sekali ?
Kemungkinan yang muncul ialah mata dadu 1, 2, 3, 4, 5 atau 6.
Makara banyaknya himpunan semua kejadian yang mungkin pada pelemparan sebuah dadu sekali ada 6.
Himpunan semua kejadian yang mungkin dari suatu percobaan disebut Ruang Sampel atau Ruang Contoh biasa diberi lambang karakter S
Bagaimana kalau sebuah koin uang logam dilemparkan sekali, apa saja yang mungkin muncul?
S = {Angka, gambar}
n(S) = 2
2. Kejadian
Kejadian merupakan himpunan belahan dari ruang sampel.
Contoh 14:
Dua buah dadu dilemparkan bersamaan sekali, tentukan kejadian munculnya
a. jumlah kedua dadu 10
b. selisih kedua dadu 3
c. jumlah kedua dadu 5 dan selisihnya 1
d. jumlah kedua dadu 4 atau selisihnya 5
Penyelesaian:
Untuk mengerjakan soal ini kita lihat tanggapan pola 13.
a. Jumlah kedua dadu 10 ={(4, 6), (5, 5), (6, 4)}
Makara banyaknya kejadian ada 3
b. Selisih kedua dadu 3 ={(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 1), (5, 2), (6, 3)}
Makara banyaknya kejadian ada 6
c. Jumlah kedua dadu 5 dan selisihnya 1 ={(2, 3), (3, 2)}
Makara banyaknya kejadian ada 2
d. Jumlah kedua dadu 4 atau selisihnya 5 ={(1, 3), (2, 2), (3, 1), (1, 6), (6, 1}
Makara banyaknya kejadian ada 5
C. PELUANG SUATU KEJADIAN
1. Peluang Suatu Kejadian
Sebelum mempelajari peluang suatu kejadian, marilah kita ingat kembali mengenai ruang sampel yang biasanya dilambangkan dengan S. Kejadian ialah himpunan belahan dari ruang sampel, sedangkan titik sampel ialah setiap hasil yang mungkin terjadi pada suatu percobaan. Jika A ialah suatu kejadian yang terjadi pada suatu percobaan dengan ruang sampel S, di mana setiap titik sampelnya memiliki kemungkinan sama untuk muncul, maka peluang dari suatu kejadian A ditulis sebagai berikut.
n(A)
P(A) = ———
n(S )
Keterangan:
P(A) = peluang kejadian A
n(A) = banyaknya anggota A
n(S) = banyaknya anggota ruang sampel S
Contoh :
Pada pelemparan 3 buah uang sekaligus, tentukan peluang muncul:
a. ketiganya sisi gambar;
b. satu gambar dan dua angka.
Penyelesaian:
a. S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}
Maka n(S) = 8
Misal kejadian ketiganya sisi gambar ialah A.
A = {GGG}, maka n(A) = 1
n(A) 1
P(A) = ——— =——
n(S ) 8
b. Misal kejadian satu gambar dan dua angka ialah B.
B = {AAG, AGA, GAA}, maka n(B) = 3
n(B) 3
P(B) = ——— =——
n(S ) 8
Contoh:
Andi mengikuti program Jalan Santai dengan doorprize 5 buah sepeda motor. Jika jalan santai tersebut diikuti oleh 1000 orang, berapakah peluang Andi mendapat doorprize sepeda motor?
Penyelesaian:
S = semua penerima jalan santai
maka n(S) = 1000
Misal kejadian Andi mendapat motor ialah A.
A = {Motor1, Motor2, Motor3, Motor4, Motor5}
maka n(A) = 5
n(A) 5 1
P(A) = ——— = ——— = ——
n(S ) 1000 200
1
Makara peluang Andi mendapat doorprize sepeda motor ——
200
2. Kisaran Nilai Peluang
Untuk mengetahui kisaran nilai peluang, perhatikan soal berikut:
Contoh 18:
Sebuah dadu dilemparkan sekali, tentukan peluang munculnya
a. Mata dadu 8 b. Mata dadu kurang dari 7
Penyelesaian:
a. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
misal kejadian muncul mata dadu 8 ialah A
A = { }, n(A) = 0
n(A) 0
P(A) = ——— = — = 0
n(S ) 6
Kejadian muncul mata dadu 8 ialah kejadian mustahil, P(A) = 0
b. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
misal kejadian muncul mata dadu kurang dari 7 ialah B
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(B) = 6
n(B) 6
P(B) = ——— = — = 1
n(S ) 6
Kejadian muncul mata dadu kurang dari 7 ialah kejadian pasti, P(A) = 1
Makara kisaran nilai peluang: 0 ≤ P(A) ≤ 1
3. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Frekuensi keinginan dari sejumlah kejadian merupakan banyaknya kejadian dikalikan dengan peluang kejadian itu. Misalnya pada percobaan A dilakukan n kali, maka frekuensi harapannya ditulis sebagai berikut.
Fh = n × P(A)
Contoh 19:
Pada percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus sebanyak 240 kali, tentukan frekuensi keinginan munculnya dua gambar dan satu angka.
Penyelesaian:
S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG} ⇒ n(S) = 8
A = {AGG, GAG, GGA} ⇒ n(A) = 3
n(A) 3
Fh(A) = n × P(A) = 240 × —— = 240 × —— = 90 kali
n(S) 8
4. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Untuk mempelajari peluang komplemen, perhatikan pola berikut.
Contoh:
Pada pelemparan sebuah dadu sekali, berapakah peluang munculnya:
a. nomor dadu ganjil,
b. nomor dadu tidak ganjil?
Penyelesaian:
a. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, maka n(S) = 6.
A ialah kejadian keluar nomor dadu ganjil
A = {1, 3, 5}, maka n(A) = 3 sehingga
n(A) 3 1
P(A) = ——— =—— = —
n(S ) 6 2
b. B ialah kejadian keluar nomor dadu tidak ganjil
B = {2, 4, 6}, maka n(B) = 3 sehingga
n(B) 3 1
P(B) = ——— =—— = — , Peluang B ialah Peluang suplemen dari A
n(S ) 6 2
Dari pola tersebut kita sanggup mengambil kesimpulan bahwa:
P(A) + P(AC) = 1 atau P(AC) = 1 – P(A)
Contoh:
Pada pelemparan 3 buah uang sekaligus, tentukan peluang munculnya paling
sedikit satu angka !
Penyelesaian:
Cara biasa
S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}, maka n(S) = 8
Misal kejadian paling sedikit satu angka ialah A.
A = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA}, maka n(A) = 7
n(A) 7
P(A) = ——— =——
n(S ) 8
Cara komplemen
S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}, maka n(S) = 8
Misal kejadian paling sedikit satu angka ialah A.
Ac = {GGG}, maka n(Ac) =1
n(Ac) 1
P(Ac) = ——— =——
n(S ) 8
1 7
P(A) = 1 – P(Ac) = 1 – —— = ——
8 8
1. Peluang Suatu Kejadian
Sebelum mempelajari peluang suatu kejadian, marilah kita ingat kembali mengenai ruang sampel yang biasanya dilambangkan dengan S. Kejadian ialah himpunan belahan dari ruang sampel, sedangkan titik sampel ialah setiap hasil yang mungkin terjadi pada suatu percobaan. Jika A ialah suatu kejadian yang terjadi pada suatu percobaan dengan ruang sampel S, di mana setiap titik sampelnya memiliki kemungkinan sama untuk muncul, maka peluang dari suatu kejadian A ditulis sebagai berikut.
n(A)
P(A) = ———
n(S )
Keterangan:
P(A) = peluang kejadian A
n(A) = banyaknya anggota A
n(S) = banyaknya anggota ruang sampel S
Contoh :
Pada pelemparan 3 buah uang sekaligus, tentukan peluang muncul:
a. ketiganya sisi gambar;
b. satu gambar dan dua angka.
Penyelesaian:
a. S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}
Maka n(S) = 8
Misal kejadian ketiganya sisi gambar ialah A.
A = {GGG}, maka n(A) = 1
n(A) 1
P(A) = ——— =——
n(S ) 8
b. Misal kejadian satu gambar dan dua angka ialah B.
B = {AAG, AGA, GAA}, maka n(B) = 3
n(B) 3
P(B) = ——— =——
n(S ) 8
Contoh:
Andi mengikuti program Jalan Santai dengan doorprize 5 buah sepeda motor. Jika jalan santai tersebut diikuti oleh 1000 orang, berapakah peluang Andi mendapat doorprize sepeda motor?
Penyelesaian:
S = semua penerima jalan santai
maka n(S) = 1000
Misal kejadian Andi mendapat motor ialah A.
A = {Motor1, Motor2, Motor3, Motor4, Motor5}
maka n(A) = 5
n(A) 5 1
P(A) = ——— = ——— = ——
n(S ) 1000 200
1
Makara peluang Andi mendapat doorprize sepeda motor ——
200
2. Kisaran Nilai Peluang
Untuk mengetahui kisaran nilai peluang, perhatikan soal berikut:
Contoh 18:
Sebuah dadu dilemparkan sekali, tentukan peluang munculnya
a. Mata dadu 8 b. Mata dadu kurang dari 7
Penyelesaian:
a. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
misal kejadian muncul mata dadu 8 ialah A
A = { }, n(A) = 0
n(A) 0
P(A) = ——— = — = 0
n(S ) 6
Kejadian muncul mata dadu 8 ialah kejadian mustahil, P(A) = 0
b. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
misal kejadian muncul mata dadu kurang dari 7 ialah B
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(B) = 6
n(B) 6
P(B) = ——— = — = 1
n(S ) 6
Kejadian muncul mata dadu kurang dari 7 ialah kejadian pasti, P(A) = 1
Makara kisaran nilai peluang: 0 ≤ P(A) ≤ 1
3. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Frekuensi keinginan dari sejumlah kejadian merupakan banyaknya kejadian dikalikan dengan peluang kejadian itu. Misalnya pada percobaan A dilakukan n kali, maka frekuensi harapannya ditulis sebagai berikut.
Fh = n × P(A)
Contoh 19:
Pada percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus sebanyak 240 kali, tentukan frekuensi keinginan munculnya dua gambar dan satu angka.
Penyelesaian:
S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG} ⇒ n(S) = 8
A = {AGG, GAG, GGA} ⇒ n(A) = 3
n(A) 3
Fh(A) = n × P(A) = 240 × —— = 240 × —— = 90 kali
n(S) 8
4. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Untuk mempelajari peluang komplemen, perhatikan pola berikut.
Contoh:
Pada pelemparan sebuah dadu sekali, berapakah peluang munculnya:
a. nomor dadu ganjil,
b. nomor dadu tidak ganjil?
Penyelesaian:
a. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, maka n(S) = 6.
A ialah kejadian keluar nomor dadu ganjil
A = {1, 3, 5}, maka n(A) = 3 sehingga
n(A) 3 1
P(A) = ——— =—— = —
n(S ) 6 2
b. B ialah kejadian keluar nomor dadu tidak ganjil
B = {2, 4, 6}, maka n(B) = 3 sehingga
n(B) 3 1
P(B) = ——— =—— = — , Peluang B ialah Peluang suplemen dari A
n(S ) 6 2
Dari pola tersebut kita sanggup mengambil kesimpulan bahwa:
P(A) + P(AC) = 1 atau P(AC) = 1 – P(A)
Contoh:
Pada pelemparan 3 buah uang sekaligus, tentukan peluang munculnya paling
sedikit satu angka !
Penyelesaian:
Cara biasa
S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}, maka n(S) = 8
Misal kejadian paling sedikit satu angka ialah A.
A = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA}, maka n(A) = 7
n(A) 7
P(A) = ——— =——
n(S ) 8
Cara komplemen
S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}, maka n(S) = 8
Misal kejadian paling sedikit satu angka ialah A.
Ac = {GGG}, maka n(Ac) =1
n(Ac) 1
P(Ac) = ——— =——
n(S ) 8
1 7
P(A) = 1 – P(Ac) = 1 – —— = ——
8 8
5. Peluang Kejadian Majemuk
a. Peluang Gabungan 2 kejadian
Misal A dan B ialah dua kejadian yang berbeda, maka peluang kejadian
A ∪ B ditentukan dengan aturan:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Contoh:
Sebuah dadu dilambungkan sekali, kalau A ialah kejadian munculnya bilangan ganjil dan B ialah kejadian munculnya bilangan prima. Tentukan peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau prima!
Penyelesaian:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = bilangan ganjil : {1, 3, 5} → P(A) = 3/6
B = bilangan prima : {2, 3, 5} → P(B) =3/6
A∩B = {3, 5} → P{A∩B} = 2/6
P(A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= 3/6 + 3/6 – 2/6 = 4/6 = 2/3
Makara peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau prima ialah 2/3
Contoh:
Diambil sebuah kartu dari 1 set kartu bridge, tentukan peluang terambilnya kartu As atau kartu Hati!
Penyelesaian:n(S) = 52 (karena banyaknya kartu dalam 1 set kartu bridge 52)
A = kartu As, n(A) = 4 (Banyaknya kartu As dalam1 set kartu bridge 4)
4
P(A) = ——
52
B = kartu Hati, n(B) = 13 (Banyaknya kartu Hati dalam1 set kartu bridge 13)
13
P(B) = ——
52
n(A∩B) = 1 (Banyaknya Kartu As dan Hati dalam1 set kartu bridge 1)
1
P(A∩B) = ——
52
4 13 1 16
P(A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = —— + —— – —— =——
52 52 52 52
16
Makara peluang kejadian terambilnya kartu As atau Hati ialah ——
52
b. Peluang Kejadian Saling Lepas (Saling Asing)
Kejadian A dan B saling absurd kalau kedua kejadian tersebut tidak mungkin terjadi bersama-sama. Ini berarti A∩B = 0 atau P(A∩B) = 0
Sehingga: P (A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = P(A) + P(B) – 0
P (A∪ B) = P(A) + P(B)
Contoh:
Sebuah dadu dilambungkan sekali, kalau A ialah kejadian munculnya bilangan ganjil dan B ialah kejadian munculnya bilangan genap. Tentukan peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau genap!
Penyelesaian:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = bilangan ganjil : {1, 3, 5} → P(A) = 3/6
B = bilangan genap : {2, 4, 6} → P(B) =3/6
A∩B = {} → P(A∩B) = 0 (A dan B kejadian saling lepas)
P(A∪ B) = P(A) + P(B)
= 3/6 + 3/6 = 1
Makara peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau genap ialah 1
Contoh:
Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 2 bola kuning dan 1 bola biru. Akan diambil sebuah bola secara acak. Tentukan peluang terambilnya bola merah atau bola kuning!
Penyelesaian:
8! 8! 8 . 7!
n(S) = 8C1 = ———— = ———— = ——— = 8
1!(8- 1)! 1 . 7! 7!
Misal kejadian terambilnya kelereng merah ialah A, maka:
5! 5! n(A) 5
n(A) = 5C1 = ———— = —— = 5, P(A) = ——— = ——
1!(5 - 1)! 4! n(S) 8
Misal kejadian terambilnya kelereng kuning ialah B, maka:
2! 2! n(B) 2
n(B) = 2C1 = ———— = —— = 2, P(B) = ——— = ——
1!(2 - 1)! 1! n(S) 8
A∩B = {} (Kejadian saling lepas)
5 2 7
P(A∪ B) = P(A) + P(B) = —— + —— = ——
8 8 8 7
Makara peluang terambilnya bola merah atau bola kuning ——
8
c. Peluang Kejadian Saling Bebas
Jika kejadian A tidak memengaruhi terjadinya kejadian B dan sebaliknya, atau terjadi atau tidaknya kejadian A tidak tergantung pada terjadi atau tidaknya kejadian B maka dua kejadian ini disebut kejadian saling bebas. Hal ini menyerupai digambarkan pada pelemparan dua buah dadu sekaligus.
A ialah kejadian munculnya dadu pertama angka 3 dan
B ialah kejadian munculnya dadu kedua angka 5
maka kejadian A dan kejadian B merupakan dua kejadian yang saling bebas, dan peluang kejadian ini sanggup dirumuskan:
P(A∩B) = P(A) × P(B)
Coba kau pelajari pola berikut untuk lebih memahami wacana kejadian saling bebas.
Contoh:
Dua buah dadu dilemparkan bersama-sama, tentukan peluang munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama dan mata dadu 5 pada dadu kedua!
Penyelesaian:
Kejadian munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama tidak terpengaruh kejadian munculnya mata dadu 5 pada dadu kedua jadi ini ialah dua kejadian yang saling bebas
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ….., (6, 6)} → n(S) = 36
Misal kejadian munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama ialah A, maka:
6 1
A = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)} → n(A) = 6 P(A) = —— = ——
36 6
Misal kejadian munculnya mata dadu 5 pada dadu kedua ialah B, maka:
6 1
B = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)} → n(B) = 6 P(B) = —— = ——
36 6
1 1 1
P(A∩B) = P(A) × P(B) = —— × —— = ——
6 6 36
Makara peluang munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama dan mata dadu 5
1
pada dadu kedua = ——
36
Contoh:Kotak A berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning sedangkan Kotak B berisi 5 bola merah dan 2 bola kuning. Akan diambil sebuah bola secara acak dari masing-masing kotak. Tentukan peluang terambilnya bola merah dari kotak A dan terambilnya bola kuning dari kotak B!
Penyelesaian:Kotak A
8! 8! 8 . 7!
n(S) = 8C1 = ———— = ———— = ——— = 8
1!(8- 1)! 1 . 7! 7!
Misal kejadian terambilnya bola merah dari kotak A ialah A, maka:
5! 5! n(A) 5
n(A) = 5C1 = ———— = —— = 5, P(A) = ——— = ——
1!(5 - 1)! 4! n(S) 8
Kotak B
7! 7! 7 . 6!
n(S) = 7C1 = ———— = ———— = ——— = 7
1!(7- 1)! 1 . 6! 6!
Misal kejadian terambilnya bola kuning dari kotak B ialah B, maka:
2! 2! n(B) 2
n(B) = 2C1 = ———— = —— = 2, P(B) = ——— = ——
1!(2 - 1)! 1! n(S) 7
5 2 5
P(A∩B) = P(A) × P(B) = —— × —— = ——
8 7 28
6. Peluang Kejadian Bersyarat
Dua kejadian disebut kejadian bersyarat atau kejadian yang saling bergantung apabila terjadi atau tidak terjadinya kejadian A akan mensugesti terjadi atau tidak terjadinya kejadian B. Peluang terjadinya kejadian A dengan syarat kejadian B telah terjadi adalah:
P(A∩B)
P(A/B) = ———— P(B) ≠ 0
P(B)
Atau Peluang terjadinya kejadian B dengan syarat kejadian A telah terjadi adalah:
P(A∩B)
P(B/A) = ———— P(A) ≠ 0
P(A)
Contoh:
Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning. Akan diambil sebuah bola secara acak berturut-turut sebanyak dua kali tanpa pengembalian . Tentukan peluang terambilnya keduanya bola merah!
Penyelesaian:
Misal kejadian terambilnya bola merah pada pengambilan pertama ialah A, maka:
n(A) 5
P(A) = ——— = ——
n(S) 8
Misal kejadian terambilnya bola merah pada pengambilan kedua ialah B, maka:
n(B/A) 4
P(B/A) = ——— = ——
n(S) 7
5 4 5
P(A∩B) = P(A) × P(B/A) = —— × —— = ——
8 7 14
Demikianlah sedikit uraian bahan wacana rumus-rumus peluang. Anda sanggup mempelajari sifat-sifat dan konsep peluang lainnya di sini
Atau kalau anda menginginkan rumus-rumus ringkasnya dan ingin mendownload rumus-rumus peluang di atas, anda sanggup menuju ke sini
Untuk peta bahan secara keseluruhan silahkan ke halaman ini
Terima kasih sudah berkunjung dan membaca. Semoga ada manfaatnya.
a. Peluang Gabungan 2 kejadian
Misal A dan B ialah dua kejadian yang berbeda, maka peluang kejadian
A ∪ B ditentukan dengan aturan:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Contoh:
Sebuah dadu dilambungkan sekali, kalau A ialah kejadian munculnya bilangan ganjil dan B ialah kejadian munculnya bilangan prima. Tentukan peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau prima!
Penyelesaian:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = bilangan ganjil : {1, 3, 5} → P(A) = 3/6
B = bilangan prima : {2, 3, 5} → P(B) =3/6
A∩B = {3, 5} → P{A∩B} = 2/6
P(A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= 3/6 + 3/6 – 2/6 = 4/6 = 2/3
Makara peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau prima ialah 2/3
Contoh:
Diambil sebuah kartu dari 1 set kartu bridge, tentukan peluang terambilnya kartu As atau kartu Hati!
Penyelesaian:n(S) = 52 (karena banyaknya kartu dalam 1 set kartu bridge 52)
A = kartu As, n(A) = 4 (Banyaknya kartu As dalam1 set kartu bridge 4)
4
P(A) = ——
52
B = kartu Hati, n(B) = 13 (Banyaknya kartu Hati dalam1 set kartu bridge 13)
13
P(B) = ——
52
n(A∩B) = 1 (Banyaknya Kartu As dan Hati dalam1 set kartu bridge 1)
1
P(A∩B) = ——
52
4 13 1 16
P(A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = —— + —— – —— =——
52 52 52 52
16
Makara peluang kejadian terambilnya kartu As atau Hati ialah ——
52
b. Peluang Kejadian Saling Lepas (Saling Asing)
Kejadian A dan B saling absurd kalau kedua kejadian tersebut tidak mungkin terjadi bersama-sama. Ini berarti A∩B = 0 atau P(A∩B) = 0
Sehingga: P (A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = P(A) + P(B) – 0
P (A∪ B) = P(A) + P(B)
Contoh:
Sebuah dadu dilambungkan sekali, kalau A ialah kejadian munculnya bilangan ganjil dan B ialah kejadian munculnya bilangan genap. Tentukan peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau genap!
Penyelesaian:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = bilangan ganjil : {1, 3, 5} → P(A) = 3/6
B = bilangan genap : {2, 4, 6} → P(B) =3/6
A∩B = {} → P(A∩B) = 0 (A dan B kejadian saling lepas)
P(A∪ B) = P(A) + P(B)
= 3/6 + 3/6 = 1
Makara peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau genap ialah 1
Contoh:
Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 2 bola kuning dan 1 bola biru. Akan diambil sebuah bola secara acak. Tentukan peluang terambilnya bola merah atau bola kuning!
Penyelesaian:
8! 8! 8 . 7!
n(S) = 8C1 = ———— = ———— = ——— = 8
1!(8- 1)! 1 . 7! 7!
Misal kejadian terambilnya kelereng merah ialah A, maka:
5! 5! n(A) 5
n(A) = 5C1 = ———— = —— = 5, P(A) = ——— = ——
1!(5 - 1)! 4! n(S) 8
Misal kejadian terambilnya kelereng kuning ialah B, maka:
2! 2! n(B) 2
n(B) = 2C1 = ———— = —— = 2, P(B) = ——— = ——
1!(2 - 1)! 1! n(S) 8
A∩B = {} (Kejadian saling lepas)
5 2 7
P(A∪ B) = P(A) + P(B) = —— + —— = ——
8 8 8 7
Makara peluang terambilnya bola merah atau bola kuning ——
8
c. Peluang Kejadian Saling Bebas
Jika kejadian A tidak memengaruhi terjadinya kejadian B dan sebaliknya, atau terjadi atau tidaknya kejadian A tidak tergantung pada terjadi atau tidaknya kejadian B maka dua kejadian ini disebut kejadian saling bebas. Hal ini menyerupai digambarkan pada pelemparan dua buah dadu sekaligus.
A ialah kejadian munculnya dadu pertama angka 3 dan
B ialah kejadian munculnya dadu kedua angka 5
maka kejadian A dan kejadian B merupakan dua kejadian yang saling bebas, dan peluang kejadian ini sanggup dirumuskan:
P(A∩B) = P(A) × P(B)
Coba kau pelajari pola berikut untuk lebih memahami wacana kejadian saling bebas.
Contoh:
Dua buah dadu dilemparkan bersama-sama, tentukan peluang munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama dan mata dadu 5 pada dadu kedua!
Penyelesaian:
Kejadian munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama tidak terpengaruh kejadian munculnya mata dadu 5 pada dadu kedua jadi ini ialah dua kejadian yang saling bebas
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ….., (6, 6)} → n(S) = 36
Misal kejadian munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama ialah A, maka:
6 1
A = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)} → n(A) = 6 P(A) = —— = ——
36 6
Misal kejadian munculnya mata dadu 5 pada dadu kedua ialah B, maka:
6 1
B = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)} → n(B) = 6 P(B) = —— = ——
36 6
1 1 1
P(A∩B) = P(A) × P(B) = —— × —— = ——
6 6 36
Makara peluang munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama dan mata dadu 5
1
pada dadu kedua = ——
36
Contoh:Kotak A berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning sedangkan Kotak B berisi 5 bola merah dan 2 bola kuning. Akan diambil sebuah bola secara acak dari masing-masing kotak. Tentukan peluang terambilnya bola merah dari kotak A dan terambilnya bola kuning dari kotak B!
Penyelesaian:Kotak A
8! 8! 8 . 7!
n(S) = 8C1 = ———— = ———— = ——— = 8
1!(8- 1)! 1 . 7! 7!
Misal kejadian terambilnya bola merah dari kotak A ialah A, maka:
5! 5! n(A) 5
n(A) = 5C1 = ———— = —— = 5, P(A) = ——— = ——
1!(5 - 1)! 4! n(S) 8
Kotak B
7! 7! 7 . 6!
n(S) = 7C1 = ———— = ———— = ——— = 7
1!(7- 1)! 1 . 6! 6!
Misal kejadian terambilnya bola kuning dari kotak B ialah B, maka:
2! 2! n(B) 2
n(B) = 2C1 = ———— = —— = 2, P(B) = ——— = ——
1!(2 - 1)! 1! n(S) 7
5 2 5
P(A∩B) = P(A) × P(B) = —— × —— = ——
8 7 28
6. Peluang Kejadian Bersyarat
Dua kejadian disebut kejadian bersyarat atau kejadian yang saling bergantung apabila terjadi atau tidak terjadinya kejadian A akan mensugesti terjadi atau tidak terjadinya kejadian B. Peluang terjadinya kejadian A dengan syarat kejadian B telah terjadi adalah:
P(A∩B)
P(A/B) = ———— P(B) ≠ 0
P(B)
Atau Peluang terjadinya kejadian B dengan syarat kejadian A telah terjadi adalah:
P(A∩B)
P(B/A) = ———— P(A) ≠ 0
P(A)
Contoh:
Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning. Akan diambil sebuah bola secara acak berturut-turut sebanyak dua kali tanpa pengembalian . Tentukan peluang terambilnya keduanya bola merah!
Penyelesaian:
Misal kejadian terambilnya bola merah pada pengambilan pertama ialah A, maka:
n(A) 5
P(A) = ——— = ——
n(S) 8
Misal kejadian terambilnya bola merah pada pengambilan kedua ialah B, maka:
n(B/A) 4
P(B/A) = ——— = ——
n(S) 7
5 4 5
P(A∩B) = P(A) × P(B/A) = —— × —— = ——
8 7 14
Demikianlah sedikit uraian bahan wacana rumus-rumus peluang. Anda sanggup mempelajari sifat-sifat dan konsep peluang lainnya di sini
Atau kalau anda menginginkan rumus-rumus ringkasnya dan ingin mendownload rumus-rumus peluang di atas, anda sanggup menuju ke sini
Untuk peta bahan secara keseluruhan silahkan ke halaman ini
Terima kasih sudah berkunjung dan membaca. Semoga ada manfaatnya.
No comments:
Post a Comment