Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif, Program Linear, Fungsi Objektif, Cara Menentukan, Contoh Soal, Rumus, Pembahasan, Metode Uji Titik Sudut, Metode Garis Selidik, Matematika - Seperti yang telah kita ketahui bersama, suatu permasalahan sanggup dituliskan dalam bahasa matematika. Suatu permasalahan tentu memiliki bentuk penyelesaian yang optimum.
1. Fungsi Objektif z = ax + by
Fungsi tujuan dalam pembuatan model matematika dinyatakan dalam bentuk z = ax + by. Bentuk z = ax + by yang akan dioptimumkan (dimaksimumkan atau diminimumkan) tersebut disebut juga fungsi objektif. Jadi, fungsi objektif dari program linear ialah fungsi z = ax + by yang akan ditentukan nilai optimumnya. Misalnya sebagai berikut.
a. Fungsi objektif: memaksimumkan z = x + y
Kendala: 5x + 4y ≤ 20
x + 2y ≤ 24
x, y ≥ 0, dengan x, y ϵ C
b. Fungsi objektif: meminimumkan z = 2x + 3y
Kendala: x + y ≤ 500
4x + 2y ≤ 200
x, y ≥ 0
2. Cara Menentukan Nilai Optimum Fungsi Objektif
Dari uraian yang telah diberikan, kita sanggup mengetahui tujuan utama dari kegiatan linear, yaitu memilih nilai optimum (maksimum/minimum) dari suatu fungsi objektif. Untuk menuntaskan problem kegiatan linear yang berafiliasi dengan nilai optimum, langkah-langkah pemecahannya ialah sebagai berikut.
a. Merumuskan permasalahan ke dalam model matematika.
b. Membentuk sistem pertidaksamaan linear yang sesuai.
c. Menggambarkan hambatan sebagai kawasan di bidang Cartesius yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear.
d. Menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari fungsi objektif.
e. Menafsirkan/menjawab permasalahan.
Berkaitan dengan hal tersebut, ada dua metode yang sanggup dipakai untuk memilih nilai optimum dari kegiatan linear, yaitu metode uji titik sudut dan metode garis selidik.
a. Metode Uji Titik Sudut
Metode uji titik sudut ialah suatu metode untuk memilih nilai optimum dari bentuk objektif z = ax + by dengan cara menghitung nilai-nilai z = ax + by pada setiap titik sudut yang terdapat pada kawasan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel, kemudian membandingkan nilai-nilai yang telah diperoleh. Nilai yang paling besar merupakan nilai maksimum dari z = ax + by, sedangkan nilai yang paling kecil merupakan nilai minimum dari z = ax + by.
Contoh Soal 1 :
Tentukan nilai optimum dari model matematika berikut.
Fungsi objektif : memaksimumkan z = x + y
Kendala: 3x + 2y ≤ 12
x, y ≥ 0
x, y ϵ R
Penyelesaian :
Titik potong garis 3x + 2y = 12 dengan sumbu koordinat disajikan dalam tabel berikut.
x | 0 | 4 |
y | 6 | 0 |
(x, y) | (0, 6) | (4, 0) |
Jadi, diperoleh titik potong koordinat (0, 6) dan (4, 0).
Kemudian, kita lukis pada bidang koordinat dan kita hubungkan dengan sebuah garis lurus. Setelah itu, tentukan kawasan penyelesaian dari kendala-kendala yang tersedia.
 |
| Gambar 1. Titik potong garis 3x + 2y = 12 dengan sumbu koordinat. |
Selanjutnya, selidiki nilai bentuk objektif z = x + y untuk masing-masing titik sudut tersebut.
Titik | O(0, 0) | A(4, 0) | B(0, 6) |
x | 0 | 4 | 0 |
y | 0 | 0 | 6 |
z = x + y | 0 | 4 | 6 |
↑ z maks |
Dari tabel di atas, nilai maksimum bentuk objektif z = x + y ialah 6, yaitu untuk x = 0 dan y = 6.
Contoh Soal 2 :
Diketahui suatu model matematika sebagai berikut.
Fungsi objektif: meminimumkan z = 8x + 10y
Kendala-kendala: 5x + 4y ≥ 20
9x + 8y ≤ 72
x, y ≥ 0
x, y ϵ C
Tentukan nilai minimum dari model matematika tersebut.
Pembahasan :
Dari kendala-kendala yang ada yaitu 5x + 4y ≥ 20 dan 9x + 8y ≤ 72, kita tentukan titik potong garis-garis tersebut dengan sumbu-sumbu koordinat Cartesius.
x | 0 | 4 |
y | 5 | 0 |
(x, y) | (0, 5) | (4, 0) |
x | 0 | 8 |
y | 9 | 0 |
(x, y) | (0, 9) | (8, 0) |
Dari kedua tabel di atas, tentu kalian memperoleh titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat.
Kemudian, kita lukis pada bidang koordinat dan kita hubungkan titik-titik potong tersebut dengan garis lurus. Setelah itu, kita arsir kawasan penyelesaiannya, ibarat gambar di bawah ini.
 |
| Gambar 2. Titik potong garis 5x + 4y ≥ 20 dan 9x + 8y ≤ 72. |
Dari gambar di samping, terlihat kawasan penyelesaiannya ialah segi empat ABCD. Dengan demikian, diperoleh titik-titik sudut dari kawasan penyelesaian ialah A(4, 0), B(8, 0), C(0, 9), dan D(0, 5). Selanjutnya, akan diselidiki nilai 8x + 10y untuk masing-masing titik sudut tersebut.
Titik | A(4, 0) | B(8, 0) | C(0, 9) | D(0, 5) |
x | 4 | 8 | 0 | 0 |
y | 0 | 0 | 9 | 5 |
Z = x + 10y | 32 | 64 | 90 | 50 |
↑ z min | ↑ z maks |
Dari tabel di atas, terlihat bahwa nilai minimum bentuk objektif z = 8x + 10y ialah z = 32, yaitu untuk x = 4 dan y = 0.
Contoh Soal 3 :
Diketahui luas lahan parkir 360 m2. Untuk sebuah kendaraan beroda empat dan sebuah bus, berturut-turut membutuhkan lahan 6 m2 dan 24 m2. Daerah parkir itu tidak sanggup memuat lebih dari 30 kendaraan. Tentukan jumlah maksimum yang diterima tukang parkir kalau biaya parkir untuk sebuah kendaraan beroda empat Rp1.500,00 dan sebuah bus Rp3.000,00.
Jawaban :
Terlebih dahulu kita terjemahkan permasalahan tersebut ke dalam model matematika dengan cara menciptakan tabel ibarat berikut.
Mobil (x) | Bus (y) | Persediaan | |
Luas Lahan | 6 | 24 | 360 |
Daya Tampung | 1 | 1 | 30 |
Biaya Parkir | 1.500 | 3.000 |
Misalkan banyak kendaraan beroda empat ialah x dan banyak bus ialah y. Dari tabel di atas sanggup dibentuk model matematika berikut. Fungsi objektif: memaksimumkan z = 1.500x + 3.000y
Kendala: 6x + 24y ≤ 360 atau x + 4y ≤ 60
x + y ≤ 30
x ≥ 0
y ≥ 0
x, y ϵ C
Kita tentukan titik potong garis x + 4y = 60 dan x + y = 30 dengan sumbu koordinat Cartesius, ibarat terlihat pada kedua tabel berikut.
x | 0 | 60 |
y | 51 | 0 |
(x, y) | (0, 15) | (60, 0) |
x | 0 | 30 |
y | 30 | 0 |
(x, y) | (0, 30) | (30, 0) |
Kita buat kawasan himpunan penyelesaian kendala-kendala dalam bidang Cartesius.
Kita tentukan titik potong antara dua garis dengan eliminasi.
Dengan mensubstitusikan y = 10 ke salah satu persamaan, diperoleh x = 20. Jadi, titik potong kedua garis tersebut ialah (20, 10).
 |
| Gambar 3. Titik potong garis 6x + 24y ≤ 360 atau x + 4y ≤ 60. |
Dari gambar di atas, terlihat kawasan penyelesaiannya memiliki empat titik sudut, yaitu O(0, 0), A(30, 0), B(20, 10), dan C(0, 15). Selanjutnya, kita selidiki nilai objektif z = 1.500x + 3.000y untuk masing-masing titik sudut. Perhatikan tabel berikut.
Titik | O(0, 0) | A(30, 0) | B(20, 10) | C(0, 15) |
x | 0 | 30 | 20 | 0 |
y | 0 | 0 | 10 | 15 |
Z = x + 3.000y | 0 | 45.000 | 45.000 | 60.000 |
↑ z maks |
Dari tabel di atas, terlihat nilai maksimumnya ialah z = 60.000, yaitu untuk x = 20 dan y = 10.
Jadi, tukang parkir itu akan memperoleh penghasilan maksimum, yaitu Rp 60.000,00 kalau ia sanggup mendapatkan parkir kendaraan beroda empat sebanyak 20 buah dan parkir bus sebanyak 10 buah.
b. Metode Garis Selidik ax + by = k
Cara lain yang lebih sederhana untuk memilih nilai maksimum atau minimum dari fungsi objektif z = ax + by ialah dengan memakai garis selidik ax + by = k. Langkah-langkah untuk memakai metode garis selidik ini ialah sebagai berikut.
- Gambar garis ax + by = ab yang memotong sumbu X di titik (b, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, a).
- Tarik garis yang sejajar dengan ax + by = ab yang melalui titik-titik perpotongan pada batas-batas kawasan himpunan penyelesaian.
- Garis selidik yang berada di paling atas atau yang berada di paling kanan memperlihatkan nilai maksimum, sedangkan garis selidik yang berada di paling bawah atau di paling kiri pada kawasan himpunan penyelesaian memperlihatkan nilai minimum.
Contoh Soal 4 :
Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi objektif z = 2x + 3y yang memenuhi x + y ≤ 7, x ≥ 0, dan y ≥ 0, x, y ϵ R.
Penyelesaian :
Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut ialah ibarat gambar di samping.
Untuk memakai metode garis selidik ax + by = k, ikutilah langkah-langkah berikut.
a) Gambarlah garis 2x + 3y = 2(3) ↔ 2x + 3y = 6. Anggap sebagai garis k0.
b) Tariklah garis k1 yang sejajar garis k0 melewati titik A(7, 0). Tarik garis k2 yang sejajar k1 dan melalui titik B(0, 7). Kemudian, tarik garis k3 yang sejajar k2 dan melalui titik (0, 0).
 |
| Gambar 4. Nilai maksimum da minimum dari z = 2x + 3y. |
Terlihat bahwa dari Gambar 4, garis k2 letaknya paling atas, berarti nilai maksimum dari z = 2x + 3y dicapai pada titik B(0, 7). Jadi, nilai maksimum dari z = 2x + 3y = 2(0) + 3(7) = 21. Garis k3 letaknya paling bawah, berarti nilai minimum dicapai pada titik O(0, 0) sehingga nilai minimum dari z = 2x + 3y = 2(0) + 3(0) = 0.
Contoh Soal 5 :
Seorang petani ingin memperlihatkan pupuk pada tanaman padinya. Pupuk yang diberikan harus mengandung sekurang-kurangnya 600 g fosfor dan 720 g nitrogen. Pupuk I mengandung 30 g fosfor dan 30 g nitrogen per bungkus. Pupuk II mengandung 20 g fosfor dan 40 g nitrogen per bungkus. Petani itu ingin mencampur kedua pupuk tersebut. Satu bungkus pupuk I harganya Rp17.500,00 dan pupuk II harganya Rp14.500 per bungkus. Tentukan biaya minimum yang harus dikeluarkan oleh petani tersebut.
Pembahasan :
Untuk menjawab permasalahan di atas, terlebih dahulu kita terjemahkan ke dalam model matematika. Untuk mempermudah, kita buat tabel ibarat berikut.
Kandungan | Pupuk I (x) | Pupuk II (y) | Kebutuhan |
Fosfor | 30 | 20 | 600 g |
Nitrogen | 30 | 40 | 720 g |
Harga | 17.500 | 14.500 |
Misalkan banyak pupuk I ialah x dan banyak pupuk II ialah y.
Dari tabel di atas, diperoleh model matematika sebagai berikut.
Fungsi objektif: meminimumkan z = 17.500x + 14.500y.
Dari gambar di samping, terlihat bahwa titik B merupakan perpotongan garis 3x + 2y = 60 dan 3x + 4y = 72. Kita tentukan koordinat titik B sebagai berikut.
Jadi, diperoleh y = 6. Dengan menyubstitusikan y = 6 ke salah satu persamaan garis di atas, diperoleh x = 16. Oleh alasannya itu, koordinat titik B ialah B(16, 6).
 |
| Gambar 5. Koordinat titik B. |
Terlihat dari Gambar 5, titik B terletak paling kiri dari batas-batas kawasan penyelesaian sehingga nilai minimum dicapai pada titik B(16, 6), yaitu :
z = 17.500(16) + 14.500(6) = 367.000.
Jadi, biaya minimum yang diharapkan oleh petani tersebut ialah Rp367.000,00 dengan cara membeli 16 bungkus pupuk I dan 6 bungkus pupuk II.
Contoh Soal 6 :
Tentukan nilai maksimum dari 4x + y yang memenuhi 3x + y ≤ 8, x ≥ 0, y ≥ 0 dan x, y ϵ C.
Kunci Jawaban :
Langkah-langkahnya ialah sebagai berikut.
 |
| Gambar 6. Titik sudut. |
Dari Gambar 6. diperoleh titik sudut O(0, 0), A( 2 2/3, 0), dan B(0, 8). Karena absis dari titik A bukan merupakan bilangan cacah, harus dicari titik pada kawasan yang diarsir, dengan absis dan ordinat merupakan bilangan cacah dan letaknya bersahabat titik A (2 2/3, 0). Titik yang sesuai dengan syarat di atas ialah (2, 0) dan (2 ,1).
Titik | O(0, 0) | A1(2, 0) | A2(2, 1) | B(0, 8) |
x | 0 | 2 | 2 | 0 |
y | 0 | 0 | 1 | 8 |
= 4x + y | 0 | 8 | 9 | 8 |
↑ z maks |
Dari tabel di atas, diperoleh nilai maksimum fungsi z = 4x + y ialah z = 9, untuk x = 2 dan y = 1.
Anda kini sudah mengetahui Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif. Terima kasih anda sudah berkunjung ke Perpustakaan Cyber.
Referensi :
Yuana, R. A. 2009. Khazanah Matematika 3 : untuk Kelas XII Sekolah Menengan Atas / MA Program Ilmu Pengetahuan. Sosial. Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, Jakarta. p. 240.
No comments:
Post a Comment