Pintar Pelajaran Pola Soal Barisan Dan Deret Aritmatika Geometri, Pengertian, Rumus, Sifat-Sifat Notasi Sigma, Tak Hingga, Hitung Keuangan, Bunga Tunggal Beragam Anuitas, Matematika

Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika Geometri, Pengertian, Rumus, Sifat-sifat Notasi Sigma, Tak Hingga, Hitung Keuangan, Bunga Tunggal Majemuk Anuitas, Matematika - Pernahkah kalian mengamati lingkungan sekitar? Di sekeliling kalian tentulah banyak terjadi hal-hal yang bersifat rutin. Kejadian rutin yaitu bencana yang mempunyai pola atau keteraturan tertentu. Amati pola susunan biji pada bunga matahari. Amati pola pertumbuhan populasi makhluk hidup tertentu. Kedua pola itu tolong-menolong membentuk pola keteraturan tertentu berupa barisan. Kita sanggup memperkirakan suku pada waktu tertentu. Salah satunya yaitu keteraturan populasi makhluk hidup. Untuk menghitung dan memperkirakannya, dibutuhkan suatu cara tertentu semoga lebih gampang menyelesaikannya, yaitu dengan konsep barisan dan deret.

Tujuan Pembelajaran :

Setelah mempelajari cuilan ini, diharapkan kalian dapat

1. menjelaskan ciri barisan aritmetika dan barisan geometri;
2. merumuskan suku ke-n dan jumlah n suku deret aritmetika dan deret geometri;
3. menentukan suku ke-n dan jumlah n suku deret aritmetika dan deret geometri;
4. menjelaskan ciri deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah;
5. menghitung jumlah deret geometri tak hingga;
6. menuliskan suatu deret aritmetika dan geometri dengan notasi sigma;
7. menjelaskan karakteristik kasus yang model matematikanya berbentuk deret aritmetika atau geometri;
8. merumuskan dan menuntaskan deret yang merupakan model matematika dari masalah;
9. menjelaskan rumus-rumus dalam hitung keuangan dengan deret aritmetika atau geometri;
10. menentukan bunga tunggal, bunga majemuk, dan anuitas.

Sebelumnya, kalian pernah mencar ilmu barisan dan deret ketika duduk di dingklik SMP. Pada pokok bahasan ini akan dibahas secara mendalam perihal barisan dan deret, serta hal-hal yang terkait dengan barisan dan deret. Kemudian, akan dijelaskan perihal kegunaan barisan dan deret dalam kehidupan sehari-hari.

1. Barisan dan Deret

Kalian tentu pernah berpikir perihal nomor rumah di sisi kiri jalan yang bernomor ganjil 1, 3, 5, 7, dan seterusnya, sedangkan nomor rumah di sisi kanan jalan bernomor genap 2, 4, 6, 8, dan seterusnya. Mungkin juga kalian pernah berpikir dari mana para pakar menyatakan bahwa 10 tahun ke depan penduduk Indonesia akan menjadi x juta jiwa.

Dua pola di atas berkaitan dengan barisan dan deret dari suatu bilangan.

1.1. Barisan Bilangan

Misalkan seorang anak diberi uang saku orang tuanya setiap ahad Rp10.000,00. Jika setiap ahad uang sakunya bertambah Rp500,00 maka sanggup dituliskan uang saku dari ahad ke ahad berikutnya yaitu Rp10.000,00, Rp10.500,00, Rp11.000,00, Rp11.500,00, ....

Susunan bilangan-bilangan yang sesuai dengan pola di atas yaitu :

Perhatikan bahwa dari bilangan-bilangan yang disusun berbentuk 10.000, 10.500, 11.000, 11.500, ... mempunyai keteraturan dari urutan pertama, kedua, ketiga, keempat, dan seterusnya, yaitu bilangan berikutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah 500. Bilangan-bilangan yang disusun urut dengan hukum tertentu menyerupai itulah dikenal dengan nama barisan bilangan.

Secara matematis, barisan bilangan merupakan nilai fungsi dengan kawasan definisinya yaitu bilangan asli. Misalkan barisan bilangan ditulis lambang U untuk menyatakan urutan suku-sukunya maka bilangan pertama ditulis U(1) atau U₁, bilangan kedua ditulis U(2) atau U₂, dan seterusnya. Jika kita buat korespondensi, akan terlihat menyerupai berikut.

Jadi, bentuk umum barisan bilangan adalah U₁, U₂, U₃, ..., U_n, ...

Dalam hal ini, U_n = f(n) disebut rumus umum suku ke-n dari barisan bilangan.

Contoh Soal Barisan Bilangan 1

Diketahui barisan bilangan dengan suku ke-n berbentuk U_n = n² – 2n. Tuliskan 5 suku pertama dari barisan tersebut.

Pembahasan 1

Rumus suku ke-n adalah U_n = n² – 2n.

Suku pertama sanggup dicari dengan menyubstitusikan n = 1 dan diperoleh U₁ = 1² – 2(1) = –1. Suku kedua dicari dengan mensubstitusikan n = 2 dan diperoleh U₂ = 2² – 2(2) = 0.

Dengan cara yang sama, diperoleh sebagai berikut.

Suku ketiga = U₃ = 3² – 2(3) = 3.

Suku keempat = U₄ = 4² – 2(4) = 8.

Suku kelima = U₅ = 5² – 2(5) = 15.

Jadi, lima suku pertama dari barisan itu yaitu –1, 0, 3, 8, 15.

Misalkan diberikan suatu barisan bilangan dengan suku ke-n dari barisan bilangan tersebut tidak diketahui. Dapatkah kita memilih rumus suku ke-n? Hal ini tidak selalu sanggup ditentukan, tetapi pada beberapa barisan kita sanggup melakukannya dengan memperhatikan pola suku-suku barisan tersebut.

Contoh Soal 2

Diketahui barisan bilangan 4, 7, 12, 19, ....

a. Tentukan rumus suku ke-n.

b. Suku keberapa dari barisan tersebut yang bernilai 199?

Penyelesaian 2

Barisan bilangan: 4, 7, 12, 19, ...

a. Suku ke-1 = U₁ = 4 = 1² + 3

Suku ke-2 = U₂ = 7 = 2² + 3

Suku ke-3 = U₃ = 12 = 3² + 3

Suku ke-4 = U₄ = 19 = 4² + 3

Suku ke-n = U_n = n² + 3

Jadi, rumus suku ke-n barisan tersebut adalah U_n = n² + 3.

b. Diketahui suku ke-n = 199, berarti

U_n = 199

↔ n² + 3 = 199

↔ n² = 196

Karena n² = 196 maka n₁ = 14 atau n₂ = –14 (dipilih nilai n positif).

Mengapa tidak dipilih n = –14?

Jadi, suku yang nilainya 199 yaitu suku ke-14.

1.2. Deret Bilangan

Misalkan kita mempunyai barisan bilangan U₁, U₂, U₃, ..., U_n dan S_n adalah jumlah dari suku-suku barisan itu.

S_n = S_n = U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n disebut deret.

Jadi, deret yaitu jumlahan suku-suku dari suatu barisan.

2. Barisan dan Deret Aritmatika

2.1. Barisan Aritmatika

Indah menyisihkan sebagaian uang yang dimilikinya untuk disimpan. Pada bulan ke-1, ia menyimpan Rp 20.000,00. Bulan berikutnya ia selalu menaikkan simpanannya Rp 500,00 lebih besar dari bulan sebelumnya. Bear simpanan (dalam rupiah) Indah dari pertama dan seterusnya sanggup ditulis sebagai berikut.

Bulan Ke-1	Bulan Ke-2	Bulan Ke-3	Bulan Ke-4	...
20.000	20.500	21.000	21.500	...

Jika kalian amati, selisih suku barisan ke suku berikutnya selalu tetap, yaitu 500.

Barisan aritmetika yaitu suatu barisan bilangan yang selisih setiap dua suku berturutan selalu merupakan bilangan tetap (konstan).

Bilangan yang tetap tersebut disebut beda dan dilambangkan dengan b.

Perhatikan juga barisan-barisan bilangan berikut ini.

a. 1, 4, 7, 10, 13, ...

b. 2, 8, 14, 20, ...

c. 30, 25, 20, 15, ...

Barisan-barisan tersebut merupakan pola dari barisan aritmatika.

Mari kita tinjau satu per satu.

a. Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 3 atau b = 3.

b. Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 6 atau b = 6.

c. Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah –5. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya –5 atau b = –5. Secara umum sanggup dikatakan sebagai berikut. Jika U_n adalah suku ke-n dari suatu barisan aritmetika maka berlaku b = U_n – U_n-1.

Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan suku pertama (U1) dilambangkan dengan a dan beda dengan b sanggup ditentukan menyerupai berikut.

U₁ = a

U₂ = U₁ + b = a + b

U₃ = U₂ + b = (a + b) + b = a + 2b

U₄ = U₃ + b = (a + 2b) + b = a + 3b

U₅ = U₄ + b = (a + 3b) + b = a + 4b

.

.

.

n = U_n–1 + b = a + (n – 1)b

Jadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmatika yaitu :

U_n = a + (n – 1)b

Keterangan: 

U_n = suku ke-n

a = suku pertama

b = beda

n = banyak suku

Contoh Soal Barisan Aritmatika 3

Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7, 12, ....

Jawaban 3

–3, 2, 7, 12, …

Suku pertama yaitu a = –3 dan bedanya b = 2 – (–3) = 5.

Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh U_n = –3 + (n – 1)5.

Suku ke-8 : U₈ = –3 + (8 – 1)5 = 32.

Suku ke-20 : U₂₀ = –3 + (20 – 1)5 = 92.

Contoh Soal 4

Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40. Tentukan banyak suku barisan tersebut.

Penyelesaian 4

Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.

Dari barisan tersebut, diperoleh a = –2, b = 1 – (–2) = 3, dan U_n = 40.

Rumus suku ke-n adalah U_n = a + (n – 1)b sehingga :

40 = –2 + (n – 1)3

↔ 40 = 3n – 5

↔ 3n = 45

Karena 3n = 45, diperoleh n = 15.

Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas yaitu 15.

Contoh Soal 5

Suku ke-10 dan suku ke-14 dari barisan aritmetika berturut-turut yaitu 7 dan 15. Tentukan suku pertama, beda, dan suku ke-20 barisan tersebut.

Pembahasan 5

Diketahui U₁₀ = 7 dan U₁₄ = 15. Dari rumus suku ke-n barisan aritmetika U_n = a + (n – 1)b, diperoleh 2 persamaan, yaitu :

U₁₀ = 7 sehingga diperoleh a + 9b = 7 ............................ (1)

U₁₄ = 15 sehingga diperoleh a + 13b = 15 ........................ (2)

Untuk memilih nilai a dan b, kita gunakan metode adonan antara eliminasi dan substitusi. Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh :

a + 9b	= 7
a + 13b	= 15	-
–4b	= –6
b	= 2

Dengan menyubstitusikan b = 2 ke persamaan (1), diperoleh :

a + 9(2) = 7 ↔ a = –11

Dengan demikian, diperoleh suku ke-n adalah U_n = –11 + (n – 1)2.

Jadi, suku ke-20 adalah U₂₀ = –11 + (20 – 1)2 = 27.

Pola Kuadrat dari Bilangan 9

Apakah hasil kuadrat bilangan yang disusun dari angka 9 mempunyai pola tertentu? Betul sekali. Hasil kuadratnya hanya tersusun dari angka 9, 8, 1, dan 0. Jika bilangan terdiri atas n digit angka 9 (n bilangan lingkaran kurang dari 10) maka kuadrat bilangan tersebut yaitu bilangan yang tersusun dari angka 9 sebanyak n – 1, diikuti angka 8, kemudian angka 0 sebanyak n – 1, dan diakhiri angka 1. Perhatikan pola berikut.

92 = 81

992 = 9801

9992 = 998001

99992 = 99980001

999992 = 9999800001

9999992 = 999998000001

Setelah memperhatikan pola di atas, coba kalian tentukan hasil dari :

a. 9999999²

b. 99999999²

c. 999999999²

2.2. Deret Aritmetika

Dari sembarang barisan aritmetika, contohnya 2, 5, 8, 11, 14, ... sanggup dibuat suatu deret yang merupakan penjumlahan berurut dari suku-suku barisan tersebut, yaitu 2 + 5 + 8 + 11 + .... Terlihat bahwa barisan aritmetika sanggup dibuat menjadi deret aritmetika dengan cara menjumlahkan suku-suku barisan aritmetika sehingga sanggup didefinisikan secara umum.

Misalkan U₁, U₂, U₃, ..., U_n merupakan suku-suku dari suatu barisan aritmetika. U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n disebut deret aritmetika, dengan :

U_n = a + (n – 1)b.

Seperti telah kalian ketahui, deret aritmetika yaitu jumlah n suku pertama barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan dinotasikan S_n. Dengan demikian,

S_n = U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n.

Untuk memahami langkah-langkah memilih rumus S_n, perhatikan pola berikut.

Contoh Soal Deret Aritmatika 6

Diketahui suatu barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, 14. Tentukan jumlah kelima suku barisan tersebut.

Pembahasan 6

Jumlah kelima suku 2, 5, 8, 11, 14 sanggup dituliskan sebagai berikut.

S5 =	2 + 5 + 8 + 11 + 14
S5 =	14 + 11 + 8 + 5 + 2	+
2S5 =	16 + 16 + 16 + 16 + 16
2S5 =	5 x 16
S5 =

Jadi, jumlah kelima suku barisan tersebut yaitu 40.

Setelah kalian amati pola di atas, kita sanggup memilih rumus umum untuk Sn sebagai berikut.

Diketahui rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika yaitu Un = a + (n – 1)b. Oleh lantaran itu,

U1 =	a			= a
U2 =	a	+	b	= Un – (n – 2)b
U3 =	a	+	2b	= Un – (n – 3)b
.			.	.
.			.	.
.			.	.
Un =	a	+	(n – 1)b	= Un

Dengan demikian, diperoleh :

S_n = a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n – 1)b)

= a + (U_n – (n – 2) b) + (U_n – (n – 3) b) + ... + U_n............ (1)

Dapat pula dinyatakan bahwa besar setiap suku yaitu b kurang dari suku berikutnya.

U_n–1 = Un – b

U_n–2 = U_n–1 – b = U_n – 2b

U_n–3 = U_n–2 – b = U_n – 3b

Demikian seterusnya sehingga Sn sanggup dituliskan

S_n = a + (U_n – (n – 1)b) + … + (U_n – 2b) + (U_n – b) + U_n ...... (2)

Dari persamaan 1 dan 2 jikalau kita jumlahkan, diperoleh :

Dengan demikian, 2S_n = n(a + U_n)

↔ Sn = ½ n(a + U_n)

↔ Sn = ½ n(a + (a + (n – 1)b))

↔ Sn = ½ n(2a + (n – 1)b)

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmetika yaitu :

S_n = ½ n(a + U_n) atau

S_n = ½ n [2a + (n – 1)b]

Keterangan:

S_n= jumlah n suku pertama

a = suku pertama

b = beda

U_n = suku ke-n

n = banyak suku

Contoh Soal 7

Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 + 8 + ....

Jawaban 7

Diketahui bahwa a = 2, b = 4 – 2 = 2, dan n = 100.

S₁₀₀ = ½ × 100 {2(2) + (100 – 1)2}

= 50 {4 + 198}

= 50 (202)

= 10.100

Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebut yaitu 10.100.

Contoh Soal 8

Hitunglah jumlah semua bilangan orisinil kelipatan 3 yang kurang dari 100.

Pembahasan 8

Bilangan orisinil kelipatan 3 yang kurang dari 100 yaitu 3, 6, 9, 12, ..., 99 sehingga diperoleh a = 3, b = 3, dan U_n = 99.

Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut.

U_n = a + (n – 1)b

↔ 99 = 3 + (n – 1)3

↔ 3n = 99

↔ n = 33

Jumlah dari deret tersebut yaitu :

S_n = ½ n(a + U_n)

S₃₃ = ½ × 33(3 + 99)

= 1.683

Jadi, jumlah bilangan orisinil kelipatan 3 yang kurang dari 100 yaitu 1.683.

Contoh Soal 9

Dari suatu deret aritmetika diketahui suku pertamanya 11, bedanya 4, dan jumlah n suku pertamanya yaitu 200. Tentukan banyaknya suku dari deret tersebut.

Pembahasan 9

Diketahui a = 11, b = 4, dan Sn = 200.

Dari rumus umum jumlah n suku pertama, diperoleh :

S_n = ½ n(2a + (n – 1)b)

↔ 200 = ½ n [2(11) + (n – 1)4]

↔ 400 = n(22 + 4n – 4)

↔ 400 = n(4n + 18)

↔ 4n² + 18n – 400 = 0

Jika setiap suku dibagi 2, persamaan tersebut menjadi :

2n² + 9n – 200 = 0

↔ (n – 8)(2n + 25) = 0

↔ n = 8 atau n =  (diambil n positif lantaran n bilangan asli)

Jadi, banyak suku deret tersebut yaitu 8.

Mennntukan Suku ke-n jikalau Rumus Jumlah n Suku Pertama Diberikan

Misalkan diberikan suku ke-n barisan aritmetika S_n. Rumus suku ke-n sanggup ditentukan dengan

U_n = S_n – S_n–1

Selain dengan memakai rumus itu, ada cara lain yang sangat efektif. Misalkan jumlah n suku pertama deret aritmetika yaitu :

S_n = pn² + qn.

Suku ke-n sanggup ditentukan dengan :

U_n = 2pn + (q – p)

dengan beda 2p.

Contoh Soal 10

Jumlah n suku pertama dari deret aritmetika adalah S_n = 2n² – 4n. Tentukan suku ke-n deret tersebut dan bedanya. Tentukan pula U₉.

Penyelesaian 10

S_n = 2n² – 4n → p = 2, q = –4

U_n = 2pn + (q – p)

= 2 x 2 x n + (–4 – 2)

= 4n – 6

Beda = 2p = 2(2) = 4

Suku ke-10 sanggup ditentukan dengan U₉ = S₉ – S₈

S⁹ = 2(9²) – 4(9) = 126

S₈ = 2(8²) – 4(8) = 96

Jadi, U⁹ = 126 – 96 = 30

Teorema yang Mengharukan

Apakah kau tahu teorema yang dikemukakan Pierre de Fermat (1601–1665)? Teorema ini dikembangkan dari teorema Pythagoras yang sangat masyur itu. Menurut teorema Pythagoras, ada banyak pasangan bilangan a, b, dan c yang memenuhi c² = a² + b², seperti 5, 3, dan 4 (beserta kelipatannya); 13, 12, dan 5 (beserta kelipatannya); 25, 24, dan 7 (beserta kelipatannya); dan seterusnya.

Pierre de Fermat mengklaim, tidak ada bilangan lingkaran a, b, dan c yang memenuhi cⁿ = aⁿ + bⁿ, untuk n > 2. Namun, pembuktiannya dikala itu masih dipertanyakan. Banyak ilmuwan yang ingin tau dengan teorema yang dilontarkan Fermat. Paul Wolfskehl, profesor matematik asal Jerman, awal tahun 1900-an berusaha menandakan teorema tersebut, namun gagal. Rasa putus asa menyelimutinya, ditambah kekecewaan pada kekasihnya menciptakan ia berniat bunuh diri. Ketika waktu untuk bunuh diri sudah dekat, ia masih ingin tau dan mencoba lagi menandakan Teorema Fermat menciptakan ia lupa untuk bunuh diri. Sampai simpulan hayatnya, teorema ini belum juga terbuktikan. Wolfskehl berwasiat, ia menyediakan uang 100.000 mark bagi orang pertama yang bisa menandakan teorema itu. Tahun 1995, Dr. Andrew Wiles, matematikawan dari Universitas Princeton, Inggris, berhasil menandakan teorema Fermat dengan gemilang. Ia hasilnya menerima hadiah 200.000 dolar dari Yayasan Raja Faisal di Arab Saudi pada tahun 1997. (Sumber: www.mate-mati-kaku.com)

3. Barisan dan Deret Geometri

3.1. Barisan Geometri

Coba kalian amati barisan 1, 2, 4, 8, 16, 32, .... Terlihat, suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan 2 pada suku sebelumnya. Barisan ini termasuk barisan geometri. Jadi, secara umum, barisan geometri yaitu suatu barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dikalikan dengan suatu bilangan tetap (konstan). Bilangan yang tetap tersebut dinamakan rasio (pembanding) dan dinotasikan dengan r.

Perhatikan pola barisan-barisan berikut.

a. 3, 6, 12, 24, ...

b. 2, 1, ½, 1/4, ...

c. 2, –4, 8, –16, ...

Barisan di atas merupakan pola barisan geometri. Untuk barisan di atas berturut-turut sanggup dihitung rasionya sebagai berikut.

a.  = ..... = 2. Jadi, r = 2.

b.  = .... Jadi, r = ½

c.  = –2. Jadi, r = –2.

Dengan demikian, sanggup disimpulkan jika U₁, U₂, ... U_n barisan geometri dengan U_n adalah rumus ke-n, berlaku :

Rumus umum suku ke-n barisan geometri dengan suku pertama (U1) dinyatakan a dan rasio r, sanggup diturunkan sebagai berikut.

U1 =	a
U2 =	U1 × r = ar
U3 =	U2 × r = ar2
U4 =	U3 × r = ar3
.	.
.	.
.	.
Un =	Un–1 × r = arn–2 × r = arn–1

Dengan demikian, diperoleh barisan geometri a, ar, ar², ..., ar^n–1, ...

Jadi, rumus umum suku ke-n (U_n) barisan geometri yaitu :

U_n = ar^n–1

Keterangan: 

a = suku pertama

r = rasio

n = banyak suku

Contoh Soal Barisan Geometri 11

Carilah suku pertama, rasio, dan suku ke-7 dari barisan geometri berikut.

a. 2, 6, 18, 54, ...
b. 9, –3, 1, -1/3 , ...

Jawaban 11

a. 2, 6, 18, 54, ...

Dari barisan geometri di atas, diperoleh :

1) suku pertama: a = 2;

2) rasio: r = ... = ... = 3.

Karena rumus suku ke-n barisan geometri yaitu :

U_n = ar^n–1 maka

U₇ = 2(3^7–1) = 2 × 729 = 1.458

b. 9, –3, 1,  , ....

Dari barisan ini, diperoleh :

1) suku pertama: a = 9;

2) rasio: r =  ;

3) suku ke-7: U₇ = 

Contoh Soal 12

Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan itu 21 dan hasil kalinya 216. Tentukan ketiga bilangan itu.

Penyelesaian 12

Pemisalan yang gampang untuk barisan geometri adalah  , a, dan ar.

Jumlah ketiga bilangan itu yaitu 21 maka  + a + ar = 21.

Hasil kali ketiga bilangan yaitu 216 maka  × a × ar = 216 ↔ a3 = 216

Karena a³ = 216, diperoleh a = 6. Kemudian, substitusikan nilai a = 6 ke persamaan  + a + ar = 21 sehingga diperoleh hasil sebagai berikut.

 + 6 + 6r = 21 ........... (kedua ruas dikalikan dengan r)

↔ 6 + 6r + 6r² = 21r

↔ 6 – 15r + 6r² = 0 ........................... (kedua ruas dibagi 3)

↔ 2r² – 5r + 2 = 0

↔ (2r – 1)(r – 2) = 0

↔ 2r – 1 = 0 atau r – 2 = 0

↔ r = ½ atau r = 2

Dari persamaan di atas, diperoleh r = ½ dan r = 2.

Untuk r = ½ dan a = 6, ketiga bilangan tersebut 12, 6, dan 3.

Untuk r = 2 dan a = 6, ketiga bilangan tersebut 3, 6, dan 12.

Pola Bilangan yang Indah

Perhatikan pola bilangan berikut.

1 × 8 + 1 = 9

12 × 8 + 2 = 98

123 × 8 + 3 = 987

1234 × 8 + 4 = 9876

12345 × 8 + 5 = 98765

123456 × 8 + 6 = 987654

Bandingkan dengan pola bilangan berikut.

0 × 9 + 1 = 1

1 × 9 + 2 = 11

12 × 9 + 3 = 111

123 × 9 + 4 = 1111

1234 × 9 + 5 = 11111

12345 × 9 + 6 = 111111

123456 × 9 + 7 = 1111111

Dari kedua pola bilangan di atas, dapatkah kalian menemukan bentuk umumnya?

Dengan memerhatikan bentuk umum kedua pola bilangan di atas, tentu kalian sanggup dengan gampang memilih hasil dari pertanyaan berikut.

a. 1234567 × 8 + 7 = ...

b. 12345678 × 8 + 8 = ...

c. 123456789 × 8 + 9 = ...

d. 1234567 × 9 + 8 = ...

e. 12345678 × 9 + 9 = ...

Coba kalian kerjakan.

3.2. Deret Geometri

Jika U₁, U₂, U₃, ... U_n merupakan barisan geometri maka U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n adalah deret geometri dengan U_n = ar^n–1. Rumus umum untuk memilih jumlah n suku pertama dari deret geometri sanggup diturunkan sebagai berikut.

Misalkan Sn notasi dari jumlah n suku pertama.

S_n = U₁ + U₂ + ... + U_n

S_n = a + ar + ... + ar^n–2 + ar^n–1 .............................................. (1)

Jika kedua ruas dikalikan r, diperoleh :

rS_n = ar + ar² + ar³ + ... + ar^n–1 + arⁿ ................................... (2)

Dari selisih persamaan (1) dan (2), diperoleh :

rSn =		ar + ar2 + ar3 + ... + arn–1 + arn
Sn =	a +	ar + ar2 + ar3 + ... + arn–1	-
rSn - Sn =	–a + arn

↔ (r – 1)S_n = a(r^n–1)

↔ S_n = 

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama dari deret geometri yaitu sebagai berikut.

S_n =  , untuk r > 1

S_n =  , untuk r < 1

Keterangan: 

S_n = jumlah n suku pertama

a = suku pertama

r = rasio

n = banyak suku

Apa yang terjadi jikalau r bernilai 1?

Contoh Soal Deret Geometri 13

Tentukan jumlah dari deret geometri berikut.

a. 2 + 4 + 8 + 16 + ... (8 suku)

b. 12 + 6 + 3 + 1,5 + ... (6 suku)

Pembahasan 13

a. 2 + 4 + 8 + 16 + ...

Dari deret tersebut, diperoleh a = 2 dan r = 4/2 = 2 (r > 1).

Jumlah deret hingga 8 suku pertama, berarti n = 8.

S_n =  ↔ S₈ =  = 2(256 – 1) = 510

Jadi, jumlah 8 suku pertama dari deret tersebut yaitu 510.

b. 12 + 6 + 3 + 1,5 + ...

Dari deret itu, diperoleh a = 12 dan r =  (r < 1).

Jumlah deret hingga 6 suku pertama, berarti n = 6.

S_n =  ↔ S₆ =  = 24(1-  ) = 

Contoh Soal 14

Diketahui deret 3 + 3² + 3³ + ... + 3ⁿ = 363. Tentukan :

a. suku pertama; 

b. rasio;
c. banyak suku.

Penyelesaian 14

Deret 3 + 3² + 3³ + ... + 3ⁿ = 363

a. Suku pertama: a = 3

b. Rasio: r = ... = .... = 3

c. Untuk S_n = 363

Karena r = 3 > 1, kita gunakan rumus :

S_n = 

↔ 363 = 

↔ 726 = 3ⁿ⁺¹ – 3

↔ 3ⁿ⁺¹ = 729

↔ 3ⁿ⁺¹ = 36

Dengan demikian, diperoleh n + 1 = 6 atau n = 5. Jadi, banyak suku dari deret tersebut yaitu 5.

Contoh Soal 15

Carilah n terkecil sehingga S_n > 1.000 pada deret geometri 1 + 4 + 16 + 64 + ...

Kunci Jawaban 15

Dari deret tersebut, diketahui a = 1 dan r = 4 (r > 1) sehingga jumlah n suku pertamanya sanggup ditentukan sebagai berikut.

S_n = 

Nilai n yang mengakibatkan S_n > 1.000 yaitu :

 > 1.000 ↔ 4ⁿ > 3.001

Jika kedua ruas dilogaritmakan, diperoleh :

log 4ⁿ > log 3.001

↔ n log 4 > log 3.001

↔ n > 

↔ n > 5,78 (Gunakan kalkulator untuk memilih nilai logaritma)

Jadi, nilai n terkecil agar S_n > 1.000 yaitu 6.

Contoh Soal 16

Tentukan rumus jumlah n dari deret 1 + 11 + 111 + 1.111 + ...

Penyelesaian 16

Jika kalian perhatikan sekilas, deret ini bukan merupakan deret aritmetika maupun geometri. Namun, coba perhatikan klasifikasi berikut.

3.3. Deret Geometri Tak Berhingga

Deret geometri yang tidak sanggup dihitung banyak seluruh sukunya disebut deret geometri tak berhingga. 

Perhatikan deret geometri berikut.

a. 1 + 2 + 4 + 8 + ...

c. 1 +  +  + ....

d. 9 – 3 + 1 –  + .....

Deret-deret di atas merupakan pola deret geometri tak berhingga.

Dari pola a dan b, rasionya berturut-turut yaitu 2 dan –2.

Jika deret tersebut diteruskan maka nilainya akan makin besar dan tidak terbatas. Deret yang demikian disebut deret divergen, dengan | r | > 1. Sebaliknya, dari pola c dan d, rasio masing-masing deret 1/2 dan –1/3. Dari pola c dan d, sanggup kita hitung pendekatan jumlahnya. Deret tersebut dinamakan deret konvergen dengan | r | < 1. Pada deret konvergen, jumlah suku-sukunya tidak akan melebihi suatu harga tertentu, tetapi akan mendekati harga tertentu. Harga tertentu ini disebut jumlah tak berhingga suku yang dinotasikan dengan S_∞ . Nilai S_∞ merupakan nilai pendekatan (limit) jumlah seluruh suku (S_n) dengan n mendekati tak berhingga. Oleh lantaran itu, rumus deret tak berhingga sanggup diturunkan dari deret geometri dengan suku pertama a, rasio r dan n → ∞ .

Karena deret konvergen (| r | < 1), untuk n → ∞ maka r_n → 0 sehingga :

Jadi, rumus jumlah deret geometri tak berhingga yaitu :

 , dengan | r | < 1

Contoh Soal Deret Geometri Tak Terhingga 17

Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut.

a. 1 +  +  +  + ...

b. 

Pembahasan 17

a. 1 +  +  +  + ...

Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = ½ sehingga :

b. 

Perhatikan deret 2 + 1 +  +  +  + ....

Dari deret tersebut, diperoleh a = 2 dan r = ½.

Jadi,  = 2⁴ = 16.

Contoh Soal 18

Suku pertama suatu deret geometri yaitu 2 dan jumlah hingga tak berhingga yaitu 4. Carilah rasionya.

Penyelesaian 18

Dari soal di atas, unsur-unsur yang diketahui yaitu a = 2 dan S_∞ = 4.

Kita substitusikan ke dalam rumus S_∞ .

S =  ↔ 4 = 

↔ 1 – r = ½ .

↔ r = ½

Jadi, rasionya adalah ½.

Contoh Soal 19

Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian 3/4 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan berlangsung terus-menerus sehingga bola berhenti. Tentukan jumlah seluruh lintasan bola. (UMPTN 1995)

Jawaban 19

U₀ = 10 m; r = 3/4.

U₁ = 3/4 x 10 m = 3/40 m

S_n = 10 + 2 S_∞ = = 10 + (2 × ) = 10 + (2 × ) = 10 + (2 × 30) = 70.

Dengan cara lain:

Misalnya suatu benda dijatuhkan dari ketinggian H₀ secara vertikal dan memantul ke atas dengan tinggi pantulan a/b kali dari ketinggian semula maka panjang lintasan pantulan (H) hingga berhenti dirumuskan dengan:

Dengan memakai cara ini, diketahui a = 3, b = 4, dan H₀ = 10 m.

Jadi, H =  = 7 × 10 = 70 m

Keindahan Matematika dalam Deret

”Small is beautiful”, demikian salah satu slogan yang dipegang banyak matematikawan dalam menandakan teoriteori matematis. Thomas Aquino, pada masa XIII sudah melihat kekerabatan antara keindahan dan matematika. Dia mengatakan, ”Indra itu bahagia dengan sesuatu yang proporsinya tepat”. Proporsi yang sempurna itu sanggup diterjemahkan dalam keserasian, keteraturan, keselarasan, keseimbangan, dan keutuhan.

Jika kita jeli, alam menyediakan berbagai keindahan matematis. Coba kalian perhatikan, spiral geometris pada cangkang sarang siput (Nautilus), susunan sel segi enam pada sarang tawon madu, susunan mahkota bunga aster, susunan mahkota dan biji bunga matahari, dan masih banyak yang lainnya. Susunan-susunan objek di atas berkaitan barisan atau deret matematis. (Sumber: Happy with Math, 2007)

4. Penerapan Konsep Barisan dan Deret

Kaidah barisan dan deret sanggup dipakai untuk memudahkan penyelesaian perhitungan, contohnya bunga bank, kenaikan produksi, dan laba/rugi suatu usaha. Untuk menuntaskan duduk kasus tersebut, kita harus sanggup membedakan apakah duduk kasus tersebut termasuk barisan aritmetika, barisan geometri, deret aritmetika ataupun deret geometri. Kemudian, kita sanggup menuntaskan duduk kasus tersebut memakai rumus-rumus yang berlaku.

Contoh Soal Penerapan Konsep Barisan dan Deret 20

Ketika awal bekerja, seorang karyawan sebuah perusahaan digaji Rp 700.000,00 per bulan. Setahun berikutnya, honor per bulannya akan naik sebesar Rp 125.000,00. Demikian seterusnya untuk tahun-tahun berikutnya. Berapa honor karyawan itu per bulan untuk masa kerjanya hingga pada tahun ke-9?

Pembahasan 20

Kasus ini yaitu aplikasi dari barisan aritmetika.

Suku awal a = 700.000

Beda b = 125.000

n = 9

Kaprikornus suku ke-9, sanggup ditentukan sebagai berikut.

U_n = a + (n – 1)b

U₉ = 700.000 + (9 – 1) 125.000

= 700.000 + 1.000.000

= 1.700.000

Jadi, honor per bulan karyawan itu pada tahun ke-9 yaitu Rp 1.700.000,00.

Contoh Soal 21

Setiap awal bulan Nyoman menabung Rp 50.000,00 di suatu bank yang memperlihatkan bunga 1% per bulan. Pada tiap simpulan bulan, bunganya ditambahkan pada tabungannya. Berapakah uang Nyoman di bank itu pada simpulan tahun ke-1 jikalau ia tidak pernah mengambil tabungannya hingga simpulan tahun ke-1?

Penyelesaian 21

Misalkan tabungan awal yaitu Rp 50.000,00.

Pada simpulan bulan ke-1

Jumlah uang Nyoman yaitu sebagai berikut.

Bunga yang ia peroleh = 50.000 × 1% = 50.000 × 0,01

Jumlah uang Nyoman = 50.000 + (50.000 × 0,01)

= 50.000(1 + 0,01)

= 50.000(1,01)

Pada simpulan bulan ke-2

Uang yang sudah dimasukkan semenjak bulan ke-1 yaitu jumlah uang pada simpulan bulan ke-1 ditambah bunga sehingga diperoleh :

50.000(1,01) + (50.000(1,01) × 1%)

= 50.000(1,01)(1 + 0,01)

= 50.000(1,01)²

Uang yang dimasukkan pada awal bulan ke-2 menjadi :

50.000 + (50.000 × 1%) = 50.000(1 + 0,01)

= 50.000(1,01)

Jadi, jumlah uang Nyoman pada simpulan bulan ke-2 yaitu :

50.000(1,01) + 50.000(1,01)².

Pada simpulan bulan ke-3

Uang yang sudah dimasukkan semenjak bulan ke-1 yaitu :

50.000(1,01)² + (50.000(1,01)² × 1%)

= 50.000(1,01)² (1 + 0,01)

= 50.000(1,01)² (1,01)

= 50.000(1,01)³

Uang yang dimasukkan pada awal bulan ke-2 menjadi :

50.000(1,01) + (50.000(1,01) × 1%)

= 50.000(1,01)(1 + 0,01)

= 50.000(1,01)(1,01)

= 50.000(1,01)²

Uang yang sudah dimasukkan pada awal bulan ke-3 menjadi :

50.000 + (50.000 × 1%) = 50.000(1 + 1%)

= 50.000(1,01)

Jadi, jumlah uang Nyoman pada simpulan bulan ke-3 yaitu :

50.000(1,01) + 50.000(1,01)² + 50.000(1,01)³

Demikian seterusnya, hingga simpulan bulan ke-12.

Dari hasil perhitungan hingga bulan ke-3, sanggup disimpulkan bahwa jumlah uang tabungan Nyoman yaitu :

50.000(1,01) + 50.000(1,01)² + 50.000(1,01)³ + ... + 50.000(1,01)¹²
= 50.000{1,01 + (1,01)² + (1,01)³ + ... + (1,01)¹²}

Deret 1,01 + (1,01)² + ... + (1,01)¹² merupakan deret geometri dengan :

a = 1,01, r = 1,01, dan n = 12.

S₁₂ = 12,83

Oleh lantaran itu, jumlah uang Nyoman sesudah 1 tahun yaitu :

50.000 {1,01 + (1,01)² + ... + (1,01)¹²} = 50.000 × 12,83 = 641.500

Jadi, jumlah uang Nyoman sesudah 1 tahun yaitu Rp 641.500,00.

5. Notasi Sigma

Salah satu ciri matematika yaitu digunakannya lambang untuk mengungkapkan suatu pernyataan secara singkat, jelas, dan konsisten yang jikalau diungkapkan dengan kalimat biasa cukup panjang. Salah satu lambang yang penting yaitu ” Σ ” (dibaca: sigma). Lambang ini dipakai untuk menuliskan penjumlahan secara singkat.

5.1. Pengertian Notasi Sigma

Perhatikan penjumlahan bilangan-bilangan di bawah ini.

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 50

Jika semua suku-sukunya ditulis, cara penulisan penjumlahan tersebut terperinci tidak efektif. Apalagi jikalau banyak bilangan yang dijumlahkan makin besar. Dengan memakai notasi sigma, penulisan 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 50 dipersingkat menjadi  k (dibaca: sigma k mulai dari k = 1 hingga dengan k = 50). Atau, boleh dibaca sigma k, untuk k = 1 hingga 50.

Huruf k dipakai sebagai variabel suku yang akan bergerak mulai 1 dan bertambah 1 hingga mencapai 50. Bilangan 1 disebut batas bawah dan 50 disebut batas atas penjumlahan. Secara umum, notasi sigma dinyatakan sebagai berikut.

 U_k = U₁ + U₂ + ... + U_n

Keterangan: 

1 = batas bawah

n = batas atas

k = indeks

U_k = suku ke-k

Batas bawah tidak harus bernilai 1. Jika batas bawah penjumlahan 1 dan batas atasnya n maka penjumlahan terdiri atas n suku, sedangkan jikalau batas bawahnya r dan batas atasnya n maka penjumlahan terdiri dari (n – r + 1) suku.

Contoh Soal Notasi Sigma 22

Nyatakan dalam bentuk penjumlahan  k(k + 1).

Pembahasan 22

 k(k + 1) = 1(1 + 1) + 2(2 + 1) + 3(3 + 1) + 4(4 + 1) + 5(5 + 1)

= 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 + 5 × 6

= 2 + 6 + 12 + 20 + 30

Contoh Soal 23

Tulislah bentuk penjumlahan berikut dalam notasi sigma.

a. 2 + 4 + 6 + 8 + 10

b. 

c. ab⁵ + a²b⁴ + a³b³ + a⁴b²

Penyelesaian 23

a. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 2 × 1 + 2 × 2 + 2 × 3 + 2 × 4 + 2 × 5

= 2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5)

=  2k.

b. 

c. ab⁵ + a²b⁴ + a³b³ + a⁴b² = a¹b^6–1 + a²b^6–2 + a³b^6–3 + a⁴b^6–4 =  a^k b^6-k

5.2. Menentukan Nilai Penjumlahan yang Dinyatakan dengan Notasi Sigma

Nilai penjumlahan yang dinyatakan dengan notasi sigma sanggup dicari, antara lain dengan terlebih dahulu menyatakan ke dalam bentuk lengkapnya, kemudian dijumlahkan. Perhatikan contoh-contoh berikut ini.

Contoh Soal 24

Tentukan nilai-nilai notasi sigma berikut.

a. 

b. 

Jawaban 24

a.  = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 10 = 55

b.  = 2(3²) + 2(4²) + 2(5²) + 2(6²) = 18 + 32 + 50 + 72 = 172

5.3. Sifat-Sifat Notasi Sigma

Untuk mempermudah perhitungan yang berafiliasi dengan notasi sigma, sanggup dipakai sifat-sifat yang berlaku pada notasi sigma. Sifat apakah yang berlaku pada notasi sigma? Lakukan Aktivitas berikut.

Aktivitas :

Tujuan : Menemukan sifat-sifat yang berlaku pada notasi sigma.

Permasalahan : Sifat-sifat apakah yang berlaku pada notasi sigma?

Kegiatan : Kerjakan soal-soal berikut.

1. Nyatakan notasi sigma berikut dalam bentuk penjumlahan biasa.

a. 

b. 

c. Bandingkan hasil antara a dan b.

Apa kesimpulanmu?

2. Tentukan nilai penjumlahan yang dinyatakan dalam notasi sigma berikut.

a. Apakah  hasilnya sama dengan (7 – 3 + 1) × 5?

b. 

c. 

d. Bandingkan hasil antara c dan d. 

Apa kesimpulanmu?

Kesimpulan : Sifat-sifat apakah yang kalian temukan?

Dari Aktivitas di atas diperoleh sifat-sifat berikut.

Sifat-sifat lain yang berlaku pada notasi sigma yaitu sebagai berikut.

Untuk U_k dan V_k adalah rumus umum suku ke-k dan p, q ϵ B, berlaku :

Bukti:

Pada kali ini, akan dibuktikan sifat b dan e saja.

Sifat b:

Sifat e:

Sekarang, mari kita gunakan sifat-sifat di atas untuk menuntaskan permasalahan notasi sigma, menyerupai contoh-contoh berikut.

Contoh Soal sifat-sifat notasi sigma 25

Hitunglah nilai dari  (k² - 4k).

Pembahasan 25

Ada 2 cara yang sanggup dipakai untuk menuntaskan soal di atas.

Cara 1:

 (k² - 4k) = (1² – 4(1)) + (2² – 4(2)) + (3² – 4(3)) + (4² – 4(4))

= (1 – 4) + (4 – 8) + (9 – 12) + (16 – 16)

= – 3 – 4 – 3 + 0

= –10

Cara 2:

 (k² - 4k) = k² - 4k

 k² - 4  k

= (1² + 2² + 3² + 4²) – 4( 1 + 2+ 3 + 4)

= (1 + 4 + 9 + 16) – 4(10)

= 30 – 40

= –10

Contoh 2: Dengan memakai sifat notasi sigma, buktikan bahwa

 (2k - 4)² = 4  k² - 16  k + 16n

Jawab :
 (2k - 4)² =  (4k² - 16k - 16)

=  4k² -  16k + 16  1

= 4  k² - 16  k + 16n ............……. (terbukti) 

Contoh 3:

Ubahlah batas bawah sigma menjadi 1 dari notasi sigma berikut.

Contoh 4:

Ubahlah batas bawah sigma menjadi 4 dari notasi sigma berikut.

5.4. Menyatakan Suatu Deret dalam Notasi Sigma

Notasi sigma sanggup mempermudah kita dalam menuliskan jumlah bilangan-bilangan yang terpola, contohnya 2 + 4 + 6 + 8 + .... Seperti kalian ketahui, deret aritmetika dan deret geometri merupakan deret dengan suku-sukunya terencana tetap. Deret-deret menyerupai ini sanggup kita sajikan dalam notasi sigma. Agar lebih paham, perhatikan pola berikut.

Contoh Soal 26

Suatu deret dinyatakan dengan notasi sigma berikut.

a.  (2n +1)

b.  2ⁿ

Deret apakah itu? Kemudian, tentukan nilainya.

Jawaban 26

a.  (2n + 1) = (2(1) + 1) + (2(2) + 1) + (2(3) + 1) + ... + (2(10) + 1)

= (2 + 1) + (4 + 1) + (6 + 1) + ... + (20 + 1)

= 3 + 5 + 7 + ... + 21

Tampak bahwa deret itu mempunyai suku-suku yang selisihnya tetap, yaitu 2. Jadi, deret itu yaitu deret aritmetika dengan suku awal a = 3, beda b = 2, dan U₁₀ = 21. Nilai  (2n + 1) sama dengan nilai jumlah n suku pertama, S₁₀. Dengan memakai jumlah 10 suku pertama yang kalian ketahui, diperoleh :

Sn = ½ n(a + Un) = ½ (10)(3 + 21) = 120

Jadi,  (2n + 1) = 120.

b.  = 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64

Tampak bahwa deret itu mempunyai rasio tetap, yaitu r = 2.

Jadi, deret ini termasuk deret geometri dengan suku awal a = 2 dan rasio r = 2. Oleh lantaran itu  = S₆. Karena r = 2 > 1, kita gunakan rumus berikut.

Sn =  ↔ S₆ =  = 126

Jadi,  2ⁿ = 126.

6. Deret dalam Hitung Keuangan (Pengayaan)

Pernahkah kalian mengamati acara ekonomi yang terjadi di sekitarmu? Kegiatan ekonomi pada umumnya melibatkan terjadinya rotasi uang. Misalnya, terjadinya transaksi jual beli, hutang-piutang, pinjam-meminjam, dan lain-lain. Pada transaksitransaksi tersebut, biasanya dihubungkan dengan bunga.

Berkaitan dengan hal itu, pada pembahasan kali ini, kita akan membicarakan bunga tunggal, bunga majemuk, dan anuitas. Untuk mempermudah proses perhitungan bunga tunggal, bunga majemuk, dan anuitas, kalian sanggup memakai santunan kalkulator.

6.1. Bunga Tunggal

Pada suatu acara (usaha) yang berafiliasi dengan uang, contohnya pinjam-meminjam, biasanya jumlah nominal uang yang dibayarkan oleh seorang peminjam akan lebih besar daripada jumlah nominal uang yang dipinjamnya. Selisih jumlah nominal uang yang dipinjam dan jumlah yang dikembalikan itu dinamakan bunga. Bunga pinjaman merupakan beban ganti rugi bagi peminjam. Hal ini disebabkan peminjam memakai uang pinjaman tersebut untuk usaha. Besarnya bunga dipengaruhi oleh besar uang yang dipinjam, jangka waktu peminjaman, dan tingkat suku bunga (persentase).

Bunga yang dibayarkan oleh peminjam pada simpulan jangka waktu peminjaman tertentu dengan besar pinjaman dijadikan dasar perhitungan dan bunga pada periode berikutnya. Jika besarnya bunga sebagai jasa peminjaman yang dibayarkan tetap untuk setiap periode, bunga itu dinamakan bunga tunggal.

Misalkan uang sebesar Rp100.000,00 dibungakan atas dasar bunga tunggal dengan tingkat suku bunga 10%. Jumlah uang dan bunga hingga simpulan bulan pertama:

Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00 = Rp100.000,00 (1 + 10%)

Jumlah uang dan bunga hingga simpulan bulan kedua:

Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00 = Rp100.000,00 (1 + 2 × 10%)

Jumlah uang dan bunga hingga simpulan bulan ketiga:

Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00 = Rp100.000, 00 (1 + 3 × 10%)

Jumlah uang dan bunga hingga simpulan bulan ke-t:

Rp 100.000,00 + 10% × Rp 100.000,00 + ... + 10% × Rp 100.000,00 = Rp 100.000,00 ( 1+ t × 10%)

Secara umum, sanggup kita katakan sebagai berikut.

Misalkan modal sebesar M₀ dibungakan atas dasar bunga tunggal selama t periode waktu dengan tingkat suku bunga (persentase) r.

Bunga (B) dan besar modal pada simpulan periode (M_t) yaitu :

B = M₀ × t × r

M_t = M₀(1 + t × r)

Contoh Soal Bunga Tunggal 27

Koperasi Lestari memperlihatkan pinjaman kepada anggotanya atas dasar bunga tunggal sebesar 2% per bulan. Jika seorang anggota meminjam modal sebesar Rp 3.000.000,00 dengan jangka waktu pengembalian 1 tahun, tentukan

a. besar bunga setiap bulannya;

b. besar uang yang harus dikembalikan sesuai jangka waktu yang ditentukan.

Pembahasan 27

Besar bunga dihitung setiap bulan.

Diketahui r = 2%, M₀ = Rp 3.000.000,00, dan t = 12 bulan.

a. Besar bunga setiap bulan yaitu :

B = M₀ × 1 × r = Rp 3.000.000,00 × 1 × 2% = Rp 60.000,00

b. Besar uang yang harus dikembalikan sesuai jangka 12 bulan yaitu :

M_t = M₀(1 + t × r)

M₁₂ = Rp3.000.000,00(1 + 12 × 2%) = Rp 3.000.000,00(1,24) = Rp 3.720.000,00

Contoh Soal 28

Cecep meminjam uang di suatu bank sebesar Rp 2.000.000,00 dengan suku bunga tunggal 10% per tahun. Dalam waktu 90 hari, Cecep sudah harus mengembalikan uang tersebut. Berapa bunga dan jumlah uang yang harus dikembalikannya? (Asumsikan: 1 tahun = 360 hari)

Penyelesaian 28

Dari soal di atas diketahui M₀ = Rp 2.000.000,00, r = 10% per tahun, dan t = 60 hari = 1/4 tahun.

a. Bunga B = M₀ × t × r = Rp 2.000.000,00 × 1/4 × 10% = Rp 50.000,00

b. Jumlah uang yang harus dikembalikan Cecep yaitu :

M_t = M₀(1 + t × r)

= M₀ + M₀ × t × r

= M₀ + B

= Rp 2.000.000,00 + Rp 50.000,00

= Rp 2.050.000,00

Contoh Soal 29

Budi meminjam uang di bank sebesar Rp 3.000.000,00 dengan memakai hukum sistem bunga tunggal dan tingkat bunga r per tahun. Dalam waktu satu tahun, Budi harus mengembalikan ke bank sebesar Rp 3.240.000,00. Tentukan tingkat bunga r.

Jawaban 29

Dari soal di atas diketahui :

M₀ = Rp 3.000.000,00

M_t = Rp 3.240.000,00

Nilai bunga dalam satu tahun yaitu :

B = M₁ – M₀

= Rp3.240.000,00 – Rp3.000.000,00

= Rp240.000,00

sehingga tingkat bunga per tahun yaitu :

Jadi, besarnya tingkat bunga per tahun yaitu 8%.

Contoh Soal 30 :

Suatu modal dipinjamkan dengan memakai hukum sistem bunga tunggal 4% per bulan. Dalam waktu berapa bulan modal itu harus dipinjamkan semoga jumlah uang yang dikembalikan menjadi empat kali modal semula?

Pembahasan :

Misalkan modal yang dipinjamkan adalah M₀ .

Jumlah uang yang dikembalikan M_t = 4M₀ .

Dengan tingkat bunga 4% per bulan dan memakai kekerabatan :

M_t = M₀(1 + t × r)

↔ 4M_t = M₀(1 + t × 4%)

↔  = 1 + t × 4%

↔ 4 = 1 + t × 

↔ t ×  = 3

↔ t = 75

Jadi, modal yang dipinjamkan itu akan mencapai empat kali modal semula untuk masa waktu 75 bulan.

6.2. Bunga Majemuk

Kalian telah mengetahui perhitungan bunga yang didasarkan atas bunga tunggal. Sekarang kalian diajak untuk memahami bunga majemuk, yaitu bunga yang dihitung atas dasar jumlah modal yang dipakai ditambah dengan akumulasi bunga yang telah terjadi. Bunga semacam ini biasanya disebut bunga yang sanggup berbunga. Adapun perhitungannya sanggup kalian pahami melalui perhitungan deret geometri.

Misalkan modal sebesar M₀ dibungakan atas dasar bunga majemuk, dengan tingkat suku bunga i (dalam persentase) per periode waktu. Besar modal pada periode ke-t (M_t) sanggup dihitung dengan cara berikut.

M₁ = M₀ + M₀ × i = M₀(1 + i)

M₂ = M₁(1 + i) = [M₀(1 + i)] (1 + i) = M₀(1 + i)²

M₃ = M₂(1 + i) = [M₀(1 + i)²](1 + i) = M₀(1 + i)³

M_t = M_t–1(1 + i) = [M₀(1 + i)t + 1](1 + i) = M₀(1 + i)^t

Jadi, diperoleh kesimpulan sebagai berikut.

Jika modal M₀ dibungakan atas dasar bunga beragam dengan tingkat suku bunga i (dalam persen) per periode tertentu, besar modal pada periode ke-t (M_t) sanggup ditentukan dengan rumus :

M_t = M₀(1 + i)^t

Contoh Soal Bunga Majemuk 31

Sebuah bank memberi pinjaman kepada nasabahnya atas dasar bunga beragam 3% per tahun. Jika seorang nasabah meminjam modal sebesar Rp5.000.000,00 dan bank membungakan beragam per bulan, berapakah modal yang harus dikembalikan sesudah 1 tahun?

Pembahasan 31

Diketahui M₀ = Rp5.000.000,00, i = 3% = 0,03, dan t = 12 bulan.

Dengan demikian, modal yang harus dikembalikan sesudah 1 tahun (12 bulan) yaitu :

M_t = M₀(1 + i)^t

M₁₂ = Rp5.000.000,00(1 + 0,03)¹²

= Rp5.000.000,00(1,42576)

= Rp7.128.800,00

Pada bunga majemuk, banyak periode bunga tidak harus sempurna 1 bulan atau pun 1 tahun. Namun, periodenya juga sanggup dalam kurun waktu tertentu, contohnya 2 bulan, 3 bulan, atau 4 bulan.

Perhatikan pola berikut.

Contoh Soal 32

Ramli meminjam uang di suatu bank sebesar Rp2.000.000,00. Bank tersebut memperlihatkan bunga atas dasar bunga beragam 20% per tahun dengan periode pembungaan setiap catur wulan. Jika Ramli meminjam uang dalam jangka waktu 3 tahun, tentukan jumlah uang yang harus dikembalikan pada simpulan tahun ke-3.

Penyelesaian 32

Diketahui M₀ = Rp2.000.000,00 dan i = 20% = 0,2.

Pembungaan dilakukan setiap catur wulan (4 bulan).

Jadi, banyak periode pembungaannya dalam setahun ada 12/4 = 3 kali. Jadi, jikalau usang peminjaman 3 tahun, banyak periode pembungaannya 3 × 3 = 9 kali. Dengan demikian, jumlah modal (uang) yang harus dikembalikan Ramli pada simpulan tahun ke-3 yaitu :

M_t = M₀(1 + i)^t

M₉ = Rp2.000.000,00(1 + 0,2)⁹

= Rp2.000.000,00(5,159780)

= Rp10.319.560,00

Contoh Soal 33

Suatu modal sebesar Rp5.000.000,00 dibungakan dengan hukum sistem bunga majemuk. Setelah 10 tahun, modal itu menjadi Rp7.500.000,00. Tentukan tingkat bunga per tahun dalam bentuk persen.

Jawaban 33

Dari soal di atas diketahui M₀ = Rp5.000.000,00,

M₁₀ = Rp7.500.000,00, dan t = 10 tahun.

M_t = M₀(1 + i)^t

↔ M₁₀ = M₀(1 + i)¹⁰

↔ 7.500.000 = 5.000.000(1 + i)¹⁰

↔ (1 + i)¹⁰ = 

↔ (1 + i)¹⁰ = 1,5

↔ 1 + i = (1,5)^1/10

↔ 1 + i = 1,041

↔ i = 1,041 – 1

↔ i = 0,041 = 4,1%

Jadi, besarnya nilai tingkat bunga per tahun yaitu 4,1%.

6.3. Anuitas

Pernahkah kalian memperhatikan cara pembayaran kredit sepeda motor dengan sistem bunga menurun? Biasanya seseorang yang mengkredit sepeda motor melaksanakan pembayaran dengan cara angsuran, yaitu sistem pembayaran atau penerimaan dengan jangka waktu tetap secara berulang-ulang sesuai kesepakatan. Angsuran ini merupakan cuilan dari anuitas. Anuitas yaitu sistem pembayaran atau penerimaan secara berurutan dengan jumlah dan jangka waktu yang tetap (tertentu).

Untuk sanggup memilih rumus perhitungan anuitas, perhatikan uraian berikut.

Misalkan modal sebesar M dipinjamkan secara tunai (cash), dengan suku bunga i (dalam persen) per periode waktu dan harus dilunasi dalam t anuitas setiap periode waktu. Ingat, besarnya anuitas selalu tetap. Bagaimana cara memilih besar anuitas?

Misalkan M yaitu modal yang dipinjamkan secara tunai dengan suku bunga i (dalam persen) dan anuitasnya A. Kita sanggup menciptakan citra perhitungan anuitas A sebagai berikut.

Jika pengembalian pinjaman dilakukan:

satu kali anuitas maka  = M;

dua kali anuitas maka  = M;
tiga kali anuitas maka  = M; demikian seterusnya.

Jadi, jikalau pembayaran dilakukan sebanyak t kali anuitas, berlaku :

 = M

↔ A(1 + i)^–1 + A(1 + i)^–2 + ... + A(1 + i^)–t = M

↔ A((1 + i)^–1 + (1 + i)^–2 + ... + A(1 + i)^–t) = M

Hal ini sanggup dituliskan dengan rumus berikut.

Keterangan:

A = besar anuitas

M = modal (pokok)

i = tingkat suku bunga

t = banyak anuitas

Rumus anuitas juga sanggup ditulis dalam bentuk :

Contoh Soal Anuitas 34

Dealer ”Lestari Motor” melayani penjualan sepeda motor dengan sistem pembayaran anuitas. Pak Dani membeli sebuah sepeda motor seharga Rp12.000.000,00 di dealer tersebut. Jika bunga yang ditetapkan pihak dealer 3% per tahun dan pelunasan dilakukan dengan 6 kali anuitas, tentukan besarnya anuitas. Kemudian, buatlah tabel planning angsurannya.

Pembahasan 34

Dari soal diketahui :

M = Rp12.000.000,00;

i = 3% = 0,03;

t = 6

Dengan memakai rumus anuitas dan melihat tabel, diperoleh sebagai berikut.

Karena  = 0,18459750 maka :

 (1 + 0,03)^-1 = 5,4177144 (lihat tabel anuitas). Oleh lantaran itu,

A =  = Rp 2.215.170,01

Jadi, besar anuitas yaitu Rp 2.215.170,01.

Setelah mengetahui cara memilih besar anuitas yang harus dibayarkan, tentu kalian juga harus mengetahui besar angsuran yang telah dibayarkan sehingga kalian mengetahui sisa pinjaman sesudah pembayaran anuitas pada periode ke-t. Untuk itu, perhatikan uraian di atas.

Kalian tahu bahwa besar anuitas selalu tetap. Pada pola di atas, sisa hutang Pak Dani sesudah anuitas pertama dibayarkan yaitu sebagai berikut.

Pinjaman pertama + bunga – anuitas yang dibayarkan

Jadi, sisa hutang :

= Rp12.000.000,00(1 + 0,03) – Rp2.215.170,01

= Rp10.144.829,99

Dengan demikian, angsuran yang dibayarkan tolong-menolong hanya selisih anuitas dengan bunganya.

Jadi, angsuran pada pembayaran anuitas pertama yaitu :

Rp2.215.170,01 – 3% × Rp12.000.000 = Rp1.855.170,01.

Perhitungan ini biasanya dilakukan pada simpulan periode bunga.

Misalkan:

M = hutang awal

A = besar anuitas

i = tingkat suku bunga

a_t = angsuran ke-t

Pada simpulan periode bunga ke-1, besar angsurannya :

a₁ = A – i M.

Pada simpulan periode bunga ke-2, besar angsurannya :

a₂ = (A – i M)(1 + i)^2–1.

Pada simpulan periode bunga ke-3, besar angsurannya :

a₃ = (A – i M)(1 + i)^3–1.

Jadi, pada simpulan periode bunga ke-t, besar angsurannya

a_t = (A – i M)(1 + i)^t–1

Dari pola di atas, kita sanggup memilih besar angsuran ke-3 Pak Dani pada dealer ”Lestari Motor” sebesar :

a₃ = (A – i M)(1 + i)^3–1

= (Rp2.215.170,01 – 0,03 × Rp12.000.000,00)(1 + 0,03)²

= Rp1.968.149,86

Jadi, besar angsuran ke-3 Pak Dani yaitu Rp1.968.149,86.

Misalkan :

M = hutang awal

H_t = sisa pinjaman simpulan periode ke-t

A = besar anuitas

i = tingkat suku bunga

a_t = angsuran ke-t

Tabel planning angsurannya yaitu sebagai berikut.

Tabel Rencana Angsuran

Akhir Periode	Sisa Pinjaman	Anuitas	Beban Bunga di Akhir Periode	Besar Angsuran
ke-1	H1 = M	A	i H1	a1 = A – i H1
ke-2	H2 = H1 – a1	A	i H2	a2 = A – i H2
ke-3	H3 = H2 – a2	A	i H3	a3 = A – i H3
ke-t	Ht = Ht–1 – at–1	A	i Ht	At = A – i Ht

Dari pola di atas, kita sanggup menciptakan tabel planning angsuran sebagai berikut.

Akhir Periode	Sisa Pinjaman		Anuitas	Beban Bunga di Akhir Periode		Besar Angsuran
ke-1	H1	= Rp12.000.000;	Rp2.215.170,01	iH1	= Rp360.000,00	a1	=	A – i H1
							=	Rp1.855.170,01
ke-2	H2	= H1 – a1	Rp2.215.170,01	iH2	= Rp304.344,89	a2	=	A – i H2
		= Rp10.144.829,99					=	Rp1.910.825,1
ke-3	H3	= H2 – a2	Rp2.215.170,01	iH3	= Rp247.020,15	a3	=	A – i H3
		= Rp8.234.004,89					=	Rp1.968.149,86
ke-4	H4	= H3 – a3	Rp2.215.170,01	iH4	= Rp187.975,65	a4	=	A – i H4
		= Rp6.265.855,03					=	Rp2.027.194,35
ke-5	H5	= H4 – a4	Rp2.215.170,01	iH5	= Rp127.159,82	a5	=	A – i H5
		= Rp4.238.660,68					=	Rp2.088.010,19
ke-6	H6	= H5 – a5	Rp2.215.170,01	iH6	= Rp64.519,52	a6	=	A – i H6
		= Rp2.150.650,49					=	Rp2.150.650,49
ke-7	H7	= H6 – a6		iH7	= 0
		= 0

Setelah kalian memahami rumus untuk memilih besarnya angsuran, kini kita akan memilih rumus untuk mencari besar pinjaman. Dari rumus memilih besarnya angsuran pada periode bunga ke-t, untuk melunasi pinjaman sebesar M dengan besar anuitas A setiap periode pembayaran pada tingkat bunga i (dalam persen) per periode pembayaran ditentukan oleh

a_t = (A – iM)(1 + i)^t–1

Untuk nilai-nilai t = 1, 2, 3, .... n, diperoleh kekerabatan berikut.

a₁ = (A – iM)(1 + i)^1–1 = (A – iM)

a₂ = (A – iM)(1 + i)^2–1 = (A – iM)(1 + i) = a₁(1 + i)

a₃ = (A – iM)(1 + i)^3–1 = (A – iM)(1 + i)² = a₁(1 + i)²

.

.

.

a_t = (A – iM)(1 + i)^t–1 = a₁(1 + i)^t–1

Besarnya pinjaman M sama dengan jumlah angsuran ke-1, angsuran ke-2, dan seterusnya hingga dengan angsuran ke-t.

M = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ... + a_t

M = a₁ + a₁(1 + i) + a₁(1 + i)² + a₁(1 + i)³ + ... + a₁(1 + i)^t–1

Terlihat bahwa M merupakan jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama a₁ dan rasio (1 + i). Dengan memakai rumus deret geometri  maka diperoleh :

 

Jadi, diperoleh rumus untuk memilih besar pinjaman atau hutang dengan sistem anuitas yaitu :

dengan :

M = besar pinjaman/hutang awal

a₁ = angsuran pertama

i = tingkat suku bunga

t = periode pembayaran

Contoh Soal 35

Hutang sebesar M rupiah akan dilunasi dengan sistem pembayaran anuitas. Besarnya angsuran untuk tahun pertama yaitu Rp400.000,00 dan tingkat bunga 10% per tahun. Jika hutang itu lunas dalam tempo 4 tahun, hitunglah besarnya nilai hutang (M) tersebut.

Penyelesaian 35

Berdasarkan soal di atas, diketahui a₁ = Rp 400.000,00, tingkat bunga per tahun i = 10% = 0,1, dan jangka pembayaran t = 4 tahun.

Substitusikan nilai-nilai a1, i, dan t ke dalam rumus berikut.

M = 

M = 1.856.400

Jadi, nilai pinjaman atau hutang awal tersebut yaitu Rp 1.856.400,00.

Anda kini sudah mengetahui Barisan dan Deret. Terima kasih anda sudah berkunjung ke Perpustakaan Cyber.

Referensi :

Yuana, R. A. 2009. Khazanah Matematika 3 : untuk Kelas XII Sekolah Menengan Atas / MA Program Ilmu Pengetahuan.  Sosial. Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, Jakarta. p. 240.