Pintar Pelajaran Fungsi Komposisi Dan Fungsi Invers, Aljabar, Pola Soal, Sifat, Pengertian Relasi, Injektif, Surjektif, Pembahasan, Penyelesaian, Cara Menentukan, Menghitung, Matematika

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers, Aljabar, Contoh Soal, Sifat, Pengertian Relasi, Injektif, Surjektif, Pembahasan, Penyelesaian, Cara Menentukan, Menghitung, Matematika - Anda telah mempelajari pengertian fungsi di SMP. Demikian pula halnya dengan domain, kodomain, dan range fungsi telah Anda pelajari juga. Akan tetapi, pada pembahasan mengenai hal tersebut tidak dipelajari sifat-sifat fungsi, aljabar fungsi, fungsi komposisi, dan fungsi invers. Pada penggalan ini, konsep-konsep fungsi yang telah Anda pelajari di Sekolah Menengah Pertama tersebut akan dikembangkan hingga pada sifat-sifat fungsi, aljabar fungsi, fungsi komposisi, fungsi invers, dan invers dari fungsi komposisi. Salah satu manfaat mencar ilmu bahan ini ialah untuk menuntaskan duduk masalah berikut. Jumlah n kendaraan beroda empat yang diproduksi suatu pabrik selama 1 hari sesudah t jam operasi yaitu n(t) = 200t – 10t², 0 ≤ t < 10. Jika biaya produksi n kendaraan beroda empat (dalam dolar) yaitu C(n) = 30.000 + 8.000n, tentukan biaya C sebagai fungsi dari waktu. Berapakah biaya memproduksi kendaraan beroda empat selama 1 bulan? Untuk menjawabnya, Anda harus mempelajari penggalan ini dengan baik.


Untuk mempermudah Anda dalam mempelajari penggalan ini, pelajarilah diagram alur yang disajikan sebagai berikut.

A. Fungsi dan Sifatnya

Sebelum membahas beberapa macam fungsi, mari awali penggalan ini dengan mengulang pengertian korelasi dan fungsi.

1. Pengertian Relasi

Dari himpunan A dan B yang tidak kosong dikatakan bahwa ada suatu korelasi dari A ke B kalau ada anggota himpunan A yang berpasangan dengan anggota himpunan B. Amati diagram pada Gambar 1.

Gambar 1. Relasi dan anggota himpunan.

Relasi yang ditunjukkan diagram tersebut sanggup dituliskan dalam bentuk himpunan pasangan terurut berikut.

a. {(3, 2), (3, 6), (4, 7), (5, 6)}

b. {(Hasan, Rudi), (Hasan, Ani), (Tina, Rudi)}

c. {(a, x), (b, y), (c, z), (p, q), (r, s)}

Daerah asal (domain) dari korelasi pada Gambar 1 (a) yaitu {3, 4, 5}, kawasan kawannya (kodomain) yaitu {2, 6, 7, 8}, dan kawasan balasannya (range) yaitu {2, 6, 7}. Dapatkah Anda memilih domain, kodomain, dan range dari Gambar 1 (b) dan (c)?

Misalkan antara x dan y yang keduanya bilangan real terdapat korelasi (relasi) H, yang dinyatakan sebagai y = 2x. Grafik korelasi ini berupa garis lurus ibarat diperlihatkan pada Gambar 2.

Gambar 2. Grafik relasi.

Domain korelasi ini yaitu DH = {x| xϵR}, kodomainnya yaitu {y| yϵR} dan rangenya yaitu RH = { y| yϵR}. Titik-titik (x, y) yang memenuhi korelasi ini begitu banyak sehingga kalau dirinci satu per satu mustahil dilakukan. Dalam matematika, korelasi ini ditulis dengan {(x, y)| y = 2x; x, yϵR}.

Relasi {(x, y)|y = x² ; x, yϵR} kalau disajikan dalam diagram Cartesius terdiri atas semua titik yang terletak pada kurva y = x² , ibarat diperlihatkan pada Gambar 3(a). Adapun korelasi {(x, y)|x² + y² = 25; x, yϵR} terdiri atas semua titik yang terletak pada x² + y² = 25 ibarat diperlihatkan pada Gambar 3(b).

Gambar 3. Grafik korelasi (a) fungsi dan (b) bukan fungsi.

Dari uraian tersebut dapatkah Anda mengira bentuk umum relasi? Cobalah nyatakan bentuk tersebut dengan kalimat Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas definisi berikut.

Definisi 1

Relasi H dari himpunan A ke himpunan B ialah himpunan penggalan dari himpunan pasangan berurutan yang merupakan himpunan penggalan dari A × B. Jadi, H disebut korelasi dari A ke B kalau H himpunan penggalan dari {(x, y)|x ϵ A, y ϵ B}.

Domain dari suatu korelasi yaitu himpunan yang anggotanya terdiri atas unsur-unsur pertama dari semua pasangan berurutan yang merupakan anggota korelasi tersebut. Adapun range-nya yaitu himpunan yang anggotanya terdiri atas unsur-unsur kedua dari semua pasangan berurutan yang merupakan anggota korelasi itu.

2. Pengertian Fungsi

Amati kembali Gambar 2. Pada korelasi {(x, y)|y = 2x; x, yϵR}, setiap unsur pada kawasan asal (domain) dihubungkan dengan satu dan hanya satu unsur pada kawasan hasil (range). Misalnya, –2 dihubungkan dengan –4, –1 dengan –2, 0 dengan 0, 1 dengan 2, 2 dengan 4, dan seterusnya. Sekarang amati Gambar 6.3(a). Pada korelasi {(x, y)|y = x² ; x, yϵR}, setiap unsur pada kawasan asal dihubungkan dengan satu dan hanya satu unsur pada kawasan hasil; –2 dihubungan dengan 4, –1 dengan 1, 0 dengan 0, 1 dengan 1, 2 dengan 4, dan seterusnya. Relasi {(x, y)|y = 2x; x, yϵR} dan korelasi {(x, y)|y = x² ; x, yϵR} disebut fungsi.

Berbeda dengan Gambar 3 (b), yaitu korelasi {(x, y)|x² + y² = 25; x, yϵR}. Pada korelasi ini, untuk nilai x yang sama contohnya x = 3, terdapat dua nilai y yang berbeda, yaitu y = 4 dan y = –4. Jadi, korelasi {(x, y)|x² + y² = 25; x, yϵR) bukan fungsi.

Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan pengertian fungsi? Cobalah nyatakan pengertian fungsi dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas definisi berikut.

Definisi 2 :

Fungsi ialah korelasi dengan setiap unsur dari kawasan asalnya dipasangkan dengan sempurna satu unsur dari kawasan kawannya.

Contoh Soal 1 :

Di antara grafik pada Gambar 4, manakah yang menyatakan suatu fungsi dari R → R, x, yϵR? Jelaskan jawaban Anda.

Gambar 4. Grafik (a) bukan merupakan fungsi (b) menyatakan fungsi.

Penyelesaian :

a. Dari Gambar 4(a) tampak bahwa untuk x = 3 dihubungkan dengan yϵR, contohnya 3 dengan 0, 3 dengan 1, 3 dengan 2, dan seterusnya. Akibatnya, korelasi {(x,y)| x = 3; x, yϵR} bukan merupakan fungsi.

b. Dari Gambar 4(b) tampak bahwa setiap unsur pada domain dihubungkan dengan satu dan hanya satu unsur pada range. Misalnya, 4 dihubungkan dengan 2; –2 dihubungkan dengan –1; 0 dihubungkan dengan 0; 2 dengan 1; dan seterusnya. Dengan demikian, korelasi {(x,y)| y = 1/2 x; x, yϵR} merupakan fungsi. Grafik pada Gambar 4(b), menyatakan fungsi.

Contoh Soal 2 :

Diketahui fungsi f : R → R dan f(x) = x² – 1.

a. Hitunglah f(–3), f(–1), f(0), f(2), dan f(3).

b. Jika f(a) = 3, tentukan nilai a yang memenuhi.

c. Gambarkan grafik fungsi tersebut.

d. Jika kawasan asal fungsi tersebut yaitu D f = { x|–3 ≤ x ≤ 3, xϵR}, tentukan kawasan hasilnya.

Pembahasan :

a. f(x) = x² – 1

f(–3) = (–3)² – 1 = 9 – 1 = 8

f(–1) = (–1)² – 1 = 0

f(0) = (0)² – 1 = –1

f(2) = (2)² – 1 = 3

f(3) = (3)² – 1 = 8

b. f(a) = a² – 1

3 = a² – 1

a² = 3 + 1

a² = 4

a² = 4

a = ±2

Jadi, nilai a yang memenuhi yaitu a = 2 dan a = –2.

c. Sketsa grafik tampak pada Gambar 5.

Gambar 5. Grafik fungsi f : R → R dan f(x) = x² – 1.

d. Daerah hasil dari fungsi y = f(x) = x² – 1 adalah  R_f = { y| –1 ≤ y ≤ 8, yϵR}

3. Sifat-Sifat Fungsi

a. Fungsi Injektif

Misalkan, himpunan A = {1, 2, 3} dan himpunan B = {p, q, r, s}. Dari himpunan A ke himpunan B ditentukan fungsi f dan fungsi g yang dinyatakan dengan diagram panah pada Gambar 6.

Gambar 6. Diagram panah fungsi injektif atau fungsi satu-satu.

Pada Gambar 6(a), untuk setiap anggota himpunan A yang berbeda mempunyai peta yang berbeda di himpunan B. Fungsi yang demikian dinamakan fungsi injektif atau fungsi satu-satu.

Pada Gambar 6(b), terdapat dua anggota himpunan A yang berbeda, yaitu 2 dan 3 mempunyai peta yang sama, yaitu r di himpunan B. Oleh lantaran itu, fungsi g bukan fungsi injektif.

Sekarang, amati kembali Gambar 2. Dari grafik fungsi f(x) = 2x pada gambar tersebut, untuk setiap domain x₁ dan x₂ (x₁ ≠ x₂) maka f(x₁) ≠ f(x₂). Misalkan untuk x₁ = –1, x₂ = 1 maka f(x₁) = –2, f(x₂) = 2, dan f(x₁) ≠ f(x₂). Jadi, untuk nilai x yang berbeda menghasilkan nilai y = f(x) yang berbeda pula. Fungsi yang demikian disebut fungsi injektif atau fungsi satu-satu.

Amati pula grafik fungsi f(x) = x₂ pada Gambar 3(a).

Pada fungsi ini, untuk setiap domain x₁ dan x₂ (x₁ ≠ x₂) terdapat korelasi f(x₁) = f(x₂), contohnya f(–1) = f(1) = 1 dan f(–2) = f(2) = 4. Jadi, untuk nilai x yang berbeda terdapat nilai y = f(x) yang sama. Fungsi yang demikian bukan merupakan fungsi injektif.

Secara umum, kalau f fungsi dari himpunan A ke himpunan B maka setiap unsur di dalam A dikawankan dengan sempurna suatu unsur tertentu yang khas di dalam B. Jika dua unsur yang berbeda di dalam A masing-masing dikawankan dengan sempurna satu unsur yang berbeda pula di dalam B maka f disebut fungsi injektif atau fungsi satu-satu.

b. Fungsi Surjektif

Misalkan, himpunan A = {1, 2, 3} dan himpunan B= {x, y, z}. Dari himpunan A ke himpunan B ditentukan fungsi f yang ditentukan dengan diagram panah pada Gambar 7(a).

Gambar 7. Diagram panah Fungsi Surjektif.

Pada Gambar 7(a), tampak bahwa kawasan hasil dari fungsi f, yaitu  R_f = {x, y, z} sehingga  R_f = B, dalam hal ini B yaitu kawasan kawan. Suatu fungsi yang kawasan balasannya sama dengan kawasan kawannya dinamakan fungsi surjektif atau fungsi onto.

Jadi, fungsi f pada Gambar 7(a) merupakan fungsi surjektif.

Coba Anda selidiki Gambar 7(b). Apakah fungsi g : P → Q merupakan fungsi surjektif? Jelaskan jawaban Anda. Sekarang, amatilah grafik f(x) = 2x (Gambar 2). Grafik tersebut mempunyai kawasan hasil (range) R_f sama dengan kawasan kawannya (kodomainnya). Oleh lantaran itu, fungsi f(x) = 2x disebut fungsi surjektif atau fungsi onto. Secara umum, kalau pada suatu fungsi f dari A ke B kawasan hasilnya  R_f = B maka fungsi itu disebut fungsi surjektif atau fungsi onto.

Akan tetapi, jika  R_f ⊂ B maka fungsi tersebut bukan merupakan fungsi surjektif. Suatu fungsi yang bersifat injektif dan surjektif disebut fungsi bijektif. Jadi, fungsi y = 2x merupakan fungsi bijektif.

Contoh Soal 3 :

Selidikilah fungsi berikut, apakah merupakan fungsi injektif atau bukan, kalau injektif apakah juga merupakan fungsi bijektif?

a. y = f(x) = 1/2 x + 3, xϵR,

b. y = f(x) = x² – 2, xϵR,

Kunci Jawaban :

a. Grafik fungsi y = f(x) = 1/2 x + 3, x ϵ R tampak pada Gambar 8 (a).

Gambar 8. Grafik (a) fungsi bijektif (b) bukan fungsi injektif.

Amati untuk setiap domain x₁ dan x₂ (x₁ ≠ x₂) maka f(x₁) ≠ f(x₂). Jadi, fungsi y = f(x) = 1/2 x + 3, x ϵ R merupakan fungsi injektif. Oleh lantaran range  R_f sama dengan kawasan kawannya (kodomainnya) maka fungsi y = f(x) = 1/2 x + 3, xϵR merupakan fungsi surjektif. Dengan demikian, fungsi y = f(x) = 1/2 x + 3, xϵR yaitu fungsi bijektif.

b. Grafik dari fungsi y = f(x) = x² – 2, xϵR diperlihatkan pada Gambar 8(b). Pada gambar tersebut, tampak bahwa terdapat nilai-nilai x₁ , x₂ ϵ  D_f dengan x₁ ≠ x₂ , tetapi f(x₁) = f(x₂). Jadi, fungsi y = f(x) = x² – 2, xϵR bukan fungsi injektif.

B. Aljabar Fungsi

Anda telah mempelajari fungsi si f(x) = x² – 2 mempunyai kawasan asal D_f = { x| xϵR}. Demikian halnya dengan fungsi g(x) =  dengan kawasan asal D_g = {x| xϵR} telah Anda pelajari pula. Pada penggalan ini, Anda akan mempelajari cara membentuk fungsi gres dari hasil operasi aljabar dua fungsi f dan g yang diketahui tersebut, yaitu sebagai berikut.

• (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x² – 2 + 

(f – g)(x) = f(x) – g(x) = x² – 2 – 

• (f . g)(x) = f(x) . g(x) = (x² – 2) 

Anda pun akan mempelajari cara memilih kawasan asal fungsi hasil operasi. Untuk itu pelajari uraian berikut. Misalkan, f(x) dan g(x) yaitu fungsi-fungsi yang diketahui, berlaku hal-hal berikut.

• Jumlah dari fungsi f(x) dan g(x) yaitu :

(f + g)(x) = f(x) + g(x) dengan D_{f + g} = D_f ∩ D_g

• Selisih dari fungsi f(x) dan g(x) yaitu :

(f – g)(x) = f(x) – g(x) dengan D_{f - g} = D_f ∩ D_g

• Perkalian dari fungsi f(x) dan g(x) yaitu :

(f × g)(x) = f(x) × g(x) dengan D_{f x g} = D_f ∩ D_g

• Pembagian dari fungsi f(x) dan g(x) yaitu :

 =, dengan D_f/g = D_f ∩ D_g dan g(x) ≠ 0

Contoh Soal 4 :

Diketahui fungsi f(x) = x² – 5 dan g(x) = 2 , tentukan operasi fungsi-fungsi berikut. Tentukan pula kawasan asalnya.

a. (f + g) (x) 

b. (f – g) (x)

c. (f × g) (x)

d. (f/g) (x)

Pembahasan :

D_f = {x | xϵR} dan D_g ={x | x ≥ 0, xϵR}.

a. (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x² – 5 + 2

D_{f + g} = D_f ∩ D_g = {x | xϵR} ∩{x | x ≥ 0, xϵR}

= {x | x ≥ 0, xϵR}

b. (f – g) (x) = f(x) – g(x) = x² – 5 – 2

D_{f - g} = {x | x ≥ 0, xϵR}

c. (f  - g)(x) = f (x) - g(x) 2x² - 10

D_{f x g} = {x | x ≥ 0, xϵR}

d. 

D_f/s = {x | x > 0, x R}

C. Fungsi Komposisi

1. Pengertian Fungsi Komposisi

Sebelum Anda mempelajari fungsi komposisi lebih lanjut, pelajari uraian berikut ini. Misalkan f(x) = x² + 1 dengan D_f = { x| xϵR} dan g(x) =  dengan Dg = {x| x ≥ 2, xϵR}. Fungsi komposisi g ° f sanggup digambarkan pada Gambar 9.

Gambar 9. fungsi komposisi g°f yaitu pemetaan xϵD_f oleh fungsi f, kemudian bayangannya dipetakan lagi oleh g.

Mula-mula unsur xϵD_f dipetakan oleh f ke bayangan x, yaitu f(x). Kemudian, f(x) dipetakan oleh g ke g(f(x)). Dengan demikian, fungsi komposisi g°f yaitu pemetaan xϵD_f oleh fungsi f, kemudian bayangannya dipetakan lagi oleh g. Uraian tersebut memperjelas definisi berikut.

Definisi 3 :

Diketahui, f dan g dua fungsi sebarang maka fungsi komposisi f dan g ditulis g ° f, didefinisikan sebagai (g ° f)(x) = g(f(x)) untuk setiap xϵD_g .

Untuk x = 1 Anda peroleh f(x) = 2 yang berada dalam kawasan asal fungsi g. Bayangan x, yaitu f(x) = 2 sanggup dipetakan oleh g ke g(f(x)) alasannya yaitu g(2) =  = 0

Lain halnya kalau x = 1/2. Untuk x = 1/2 diperoleh f(x) = 1 1/4 yang berada di luar kawasan asal fungsi g. Bayangan x, yaitu f(x) = 1 1/4 tidak sanggup dipetakan oleh g ke fungsi komposisi g(f(x)) sebab  nilai ini tidak terdefinisi kalau Anda membatasi kawasan kerja pada himpunan seluruh bilangan real. Dari uraian itu sanggup dipahami bahwa pemetaan berantai gres sanggup dilakukan kalau bayangan x jatuh ke dalam kawasan asal fungsi g. Dengan demikian, diperoleh kawasan asal fungsi komposisi g ° f yaitu :

D _gof = {x | x ϵ D_f , f (x) ϵ D_g}.

Dengan pemikiran yang sama, fungsi komposisi f ° g yaitu pemetaan xϵD_g oleh fungsi g, kemudian bayangannya dipetakan lagi oleh f. Dengan demikian, kawasan asal fungsi komposisi f ° g yaitu :

D _fog = {x | x ϵ D_g , f (x) ϵ D_f}.

Misalkan diketahui f(x) = x² + 2 dan g(x) = . Kedua fungsi itu sanggup digambarkan ibarat Gambar 10.

Gambar 10. f(x) yang berada di luar kawasan asal fungsi g. Bayangan x, yaitu f(x) tidak sanggup dipetakan oleh g ke fungsi komposisi g(f(x)).

Daerah hasil R f = { x| x ≥ 2, xϵR} tidak sanggup dipetakan oleh g(x) =  sebab untuk x ≥ 2, g(x) tidak terdefinisi.

Coba jelaskan mengapa g(x) tidak terdefinisi untuk x ≥ 2. Jika Anda analisis uraian tersebut, diperoleh hal-hal berikut.

• Fungsi f(x) = x² + 1 dan g(x) =  dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi g ° f alasannya yaitu irisan antara kawasan hasil fungsi f dan kawasan asal fungsi g bukan merupakan himpunan kosong.

Rf ∩ Dg = { x| x ≥ 1, xϵR} ∩ {x| x ≥ 2, xϵR} = {x| x ≥ 2, xϵR}.

• Fungsi f(x) = x² + 2 dan g(x) =  tidak sanggup dikomposisikan menjadi fungsi komposisi g ° f alasannya yaitu irisan antara kawasan hasil fungsi f dan kawasan asal fungsi g merupakan himpunan kosong.

Rf ∩ Dg = {x| x ≥ 2, xϵR} ∩ {x| x ≤ 1, xϵR} = Ø.

Syarat yang harus dipenuhi biar fungsi f dan fungsi g sanggup dikomposisikan menjadi fungsi komposisi (g ° f) yaitu irisan antara kawasan hasil fungsi f dan kawasan asal fungsi g bukan himpunan kosong, atau R_f ∩ D_g ≠ Ø.

Contoh Soal 5 : Soal Ebtanas 1999

Fungsi g: R → R ditentukan oleh g(x) = x² – x + 3 dan fungsi f: R → R sehingga (f ° g)(x) = 3x² – 3x + 4 maka f (x – 2) = ....

Penyelesaian :

g(x) = x² – x + 3

(f ° g) (x) = 3x² – 3x + 4

f(g(x)) = 3(x² – x + 3) – 5

f (x) = 3x – 5

maka f(x – 2) = 3(x – 2) – 5

= 3x – 11

Contoh Soal 6 :

a. Jika f(x) = 2x³ dan g(x) = x + 3, tentukan g ° f(x).

b. Jika g(x) = 2x + 4 dan h(x) = x² + 2x +5, tentukan h ° g(x).

Jawaban :

a. g ° f(x) = g {f (x)} = f(x) + 3 = 2x³ + 3

b. h ° g(x) = h{g(x)} = {g(x)}² + 2{g(x)} + 5

= (2x + 4)² + 2(2x + 4) + 5

= 4x² + 16x + 16 + 4x + 8 + 5

= 4x² + 20x + 29

Contoh Soal 7 :

Diketahui f(x) = 2x + 5 dan g(x) = 3x² . Tentukan:

a. (f ° g) (x) dan (g ° f) (x)

b. 1. kawasan asal (f ° g) (x) dan kawasan hasil (f ° g) (x)

2. kawasan asal (g ° f) (x) dan kawasan hasil (g ° f) (x)

Pembahasan :

a. (f ° g) (x) = f (g (x)) = f (3x²) = 2(3x²) + 5 = 6x² + 5

(g ° f) (x) = g (f (x)) = g (2x + 5) = 3 (2x + 5)2

= 3(4x² + 20x + 25) = 12x² + 60x + 75

b. 1. Daerah asal (f ° g) (x) = D

f ° g = {x|xϵR} dan kawasan hasil (f ° g) (x) = R

f ° g = {y|yϵR}.

2. Daerah asal (g ° f) (x) = D_g°f = {x|xϵR} dan kawasan hasil (g ° f) (x) = R_g°f = {y|yϵR}.

2. Sifat-Sifat Komposisi Fungsi

Untuk mempelajari sifat-sifat komposisi fungsi, pelajari uraian berikut. Diketahui, f(x) = x + 5 dan g(x) = 2x + 6.

(f ° g) (x) = f (g(x)) = f (2x + 6) = (2x + 6) + 5 = 2x + 11

(g ° f) (x) = g (f (x)) = g (x + 5) = 2(x + 5) + 6 = 2x + 16

Amati lagi hasil pola 6.5. Apakah nilai (f ° g)(x) sama dengan (g ° f) (x)? Coba selidiki untuk fungsi lainnya. Apa yang Anda peroleh? Jika melakukannya dengan benar, akan diperoleh kesimpulan berikut.

(f ° g) (x) ≠ (g ° f) (x)

Amati fungsi f(x) = 2x + 1, g(x) = x² , dan h(x) = 3x + 5.

Misalkan, (g ° h) (x) = s(x) maka :

s(x) = (g ° h) (x) = g (h (x)) = g (3x + 5) = (3x + 5)² = 9x² + 30x + 25

sehingga :

(f ° (g ° h))(x) = (f ° s) (x) = f(s(x)) = f (9x² + 30x + 25)

= 2(9x² + 30x + 25) + 1 = 18x² + 60x + 50 + 1

= 18x² + 60x + 51

Jadi, (f ° g ° h) (x) = 18x² + 60x + 51.

Kemudian, misalkan (f ° g) (x) = t(x) maka :

t(x) = (f ° g) (x) = f (g (x)) = f (x²) = 2x² + 1 sehingga :

((f ° g) ° h) (x) = (t ° h) (x) = t(h(x)) = t (3x + 5)

= 2(3x + 5)2 + 1

= 2(9x² + 30x + 25) + 1 = 18x² + 60x + 51

Jadi, (f ° (g ° h)) (x) = 18x² + 60x + 51.

Amati lagi uraian tersebut. Apa yang Anda peroleh mengenai nilai f ° (g ° h)(x) kalau dihubungkan dengan nilai (f ° g) ° h(x)? Apakah hal ini berlaku untuk fungsi yang lainnya? Untuk itu, bersama dengan sobat sebangku buat 3 buah fungsi. Kemudian, hitung nilai f ° (g ° h) dan (f ° g) ° h. Apakah hasil keduanya sama? Ulangi lagi untuk fungsi lainnya. Apakah Anda sanggup memperoleh kesimpulan berikut?

(f ° (g ° h)) (x) = ((f ° g) ° h) (x)

Contoh Soal 9 :

Diketahui f(x) = 5x² + 6 dan I(x) = x.

a. Carilah (f ° I)(x) dan (I ° f) (x).

b. Apakah (f ° I)(x) = (I ° f) (x)?

Pembahasan :

a. (f ° I)(x) = f (I (x)) = f(x) = 5x² + 6

(I ° f)(x) = I (f (x)) = I (5x² + 6) = 5x2 + 6

b. Dari hasil (a) tampak bahwa (f ° I)(x) = (I ° f) (x).

Dalam hal ini fungsi I(x) = x disebut fungsi identitas terhadap operasi komposisi fungsi.

Dari uraian tersebut, dapatkah Anda mengira sifat-sifat komposisi fungsi? Cobalah nyatakan sifat-sifat komponen fungsi dengan kata-kata Anda sendiri.

• Operasi komposisi pada fungsi-fungsi pada umumnya tidak komutatif.

(f ° g)(x) ≠ (g ° f)(x)

• Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat asosiatif

(f ° (g ° h))(x) = ((f ° g) ° h)(x)

• Dalam operasi komposisi pada fungsi-fungsi terdapat sebuah fungsi identitas, yaitu I(x) = x sehingga (f ° I)(x) = (I ° f)(x) = f(x)

3. Menentukan Fungsi f atau g kalau Diketahui Fungsi Komposisi dari f atau g 

Pada penggalan sebelumnya, Anda telah mencar ilmu memilih fungsi komposisi f ° g atau g ° f kalau fungsi f dan g diketahui. Bagaimana kalau terjadi sebaliknya? Fungsi yang diketahui yaitu fungsi komposisi dan salah satu fungsi yang membentuk komposisi fungsi tadi, bagaimana cara memilih fungsi lainnya?

Anda sanggup memilih fungsi g(x) kalau diketahui fungsi komposisi (f ° g) (x) = 10x – 5 dan f(x) = 2x – 5, yaitu sebagai berikut.

(f ° g)(x) = 10x – 5

f(g(x)) = 10x – 5

2(g(x)) – 5 = 10x – 5

2 (g(x)) = 10x

g(x) = 5x

Untuk ntuk memilih fungsi f(x) kalau diketahui fungsi komposisi (f ° g)(x) = 30x² – 15 dan g(x) = 10x² – 3 caranya sebagai berikut.

(f ° g)(x) = 30x² – 15

f(g(x)) = 30x² – 15

f(10x² – 3) = 30x² – 15 = 3(10x² – 3) – 15 + 9

f(10x² – 3) = 3(10x² – 3) – 6

f(x) = 3x – 6

Jika fungsi f dan fungsi komposisi f ° g atau g ° f diketahui maka fungsi g sanggup ditentukan. Demikian juga kalau fungsi g dan fungsi komposisi f ° g atau g ° f diketahui maka fungsi f sanggup ditentukan.

Contoh Soal 10 :

Diketahui f ° g (x) = 1/x dan f (x) =  Tentukan g(x).

Jawaban :

f ° g (x) = 1/x f (g (x)) = 1/x

↔ x = g 

↔ g(x) = x²

D. Fungsi Invers

Di SMP, tentunya Anda telah mencar ilmu cara mengubah satuan dari derajat Celsius ke Fahrenheit, yaitu dengan memakai persamaan y = 9/5 x + 35. Bagaimana cara mengubah satuan dari Fahrenheit ke Celsius? Untuk mengetahuinya, Anda harus mencar ilmu fungsi invers. Apakah setiap fungsi selalu mempunyai fungsi invers? untuk mengetahuinya, lakukan acara matematika berikut.

Aktivitas Matematika

Lakukanlah kegiatan berikut bersama kelompok Anda.

Langkah ke-1

a. Melengkapi tabel fungsi y = f(x)

Misalkan fungsi si f dari x ke y didefinisikan sebagai y= f(x), ibarat Tabel 1. Salin dan lengkapilah Tabel 1. di buku kiprah Anda.

Tabel 1. Fungsi y = f(x)

x (masukan)	0	1	2	3	4	5	6	7	8
y (keluaran)	0	2	4	6	8	...	...	...	...

b. Menukarkan nilai-nilai masukan dan keluaran

Tukarkan nilai-nilai masukan dan keluaran tersebut ibarat Tabel 2, kemudian salin dan lengkapilah Tabel 2. di buku kiprah Anda.

Tabel 2.

x (masukan)	0	2	4	6	8	...	...	...	...
y (keluaran)	0	1	2	3	4	5	6	7	8

Coba Anda selidiki, apakah Tabel 2. merupakan fungsi dari y ke x? Tuliskan hasil penyelidikan Anda di buku kiprah Anda. Langkah ke-2

a. Melengkapi tabel fungsi s = g(r)

Misalkan fungsi g dari r ke s didefinisikan sebagai s = g(r), ibarat Tabel 3. Salin dan lengkapilah Tabel 3. di buku kiprah Anda.

Tabel 3. Fungsi s = g(r)

x (masukan)	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
y (keluaran)	...	9	4	1	0	1	4	9	...

b. Menukarkan nilai-nilai masukan dan keluaran

Tukarkan nilai-nilai masukan dan keluaran tersebut ibarat Tabel 6.2, kemudian salin dan lengkapi Tabel 6.4 di buku kiprah Anda.

Tabel 4.

x (masukan)	...	9	4	1	0	1	4	9	...
y (keluaran)	–4	–3	–2	–1	0	1	2	3	4

Coba Anda selidiki, apakah Tabel 4. merupakan fungsi dari s ke r?

Tuliskan hasil penyelidikan Anda di buku kiprah Anda.

Langkah ke-3

Dapatkah Anda menduga, fungsi yang bagaimana yang mempunyai fungsi invers? Jawablah dengan cara menganalisis Tabel 1. hingga dengan Tabel 4.

Ingatlah :

Lambang –1 di dalam f^–1 bukan berupa pangkat.

Jika fungsi f memetakan setiap xϵD_f ke yϵR_f maka balikan dari fungsi f mengembalikan unsur y tersebut ke unsur x semula. Proses pembalikan tersebut belum tentu menghasilkan fungsi baru. Jika f fungsi bijektif maka pembalikan tersebut menghasilkan fungsi baru. Akan tetapi, kalau f bukan fungsi bijektif pembalikan itu hanya menghasilkan suatu relasi. Agar lebih jelas, pelajari uraian berikut. Telah diketahui fungsi y = 2x ibarat Gambar 12 merupakan fungsi bijektif.

Gambar 12. Fungsi bijektif.

Amati bahwa setiap dua unsur yang berbeda di dalam domain f dikawankan dengan dua unsur yang berbeda di dalam kawasan mitra f. Sebagai contoh, x₁ = 2 dan x₂ = –2 dikawankan berturut-turut dengan y₁ = 4 dan y₂ = –4. Balikan dari fungsi ini akan menghubungkan dua unsur yang berbeda tersebut dengan dua unsur semula yang berbeda, yaitu 4 dengan 2 dan –4 dengan –2.

Balikan dari fungsi tersebut terang sesuai dengan hukum fungsi, yang hanya membolehkan setiap unsur di dalam kawasan asalnya dihubungkan dengan satu dan hanya satu unsur di dalam kawasan hasil. Jadi, balikan dari fungsi f(x) = 2x merupakan fungsi. Lain halnya dengan fungsi y = x² seperti Gambar 13. Fungsi ini bukan merupakan fungsi bijektif.

Gambar 13. Bukan fungsi bijektif.

Amati bahwa setiap unsur x dan –x di dalam domain f dikawankan dengan unsur y yang sama di dalam kawasan mitra f. Contohnya, unsur 2 dan –2 keduanya dipetakan ke unsur yang sama, yaitu 4. Akibatnya, balikan dari fungsi ini menghubungkan 4 dengan dua unsur yang berbeda, yaitu 2 dan –2. Balikan dari fungsi ini terang menyalahi hukum fungsi.

Jadi, balikan dari fungsi f(x) = x² bukan merupakan fungsi, tetapi hanya korelasi saja.

Dari uraian tersebut dapatkah Anda mengira bentuk umum fungsi invers? Cobalah nyatakan bentuk tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas definisi berikut.

Definisi 4 :

Misalkan, f merupakan fungsi bijektif dengan kawasan asal Df dan kawasan hasil Rf R.. Fungsi invers(fungsi balikan) f adalah f^–1 jika dan hanya kalau (f^–1 ° f) (x) = x untuk setiap x di dalam D f dan (f^–1 ° f) (x) = x untuk setiap x di dalam R f

Dari Definisi 6.4 tampak bahwa setiap xϵD f dipetakan oleh f ke f(x) dan f(x) oleh f^–1 dikembalikan ke x. Demikian halnya untuk setiap xϵR f dipetakan oleh f^–1 ke f^–1(x) dan f^–1 x) oleh f dikembalikan ke x. Dengan demikian, invers suatu fungsi invers menghasilkan fungsi asalnya, dituliskan (f^–1)^–1 = f. Dari uraian tersebut, Anda sanggup memilih invers suatu fungsi dengan langkah-langkah sebagai berikut.

• Diketahui, y = f(x).

• Selesaikan persamaan sehingga diperoleh x sebagai fungsi y atau x = f^–1(y).

• Ganti variabel y dengan x pada f^–1(y) sehingga diperoleh f^–1(x) = y sebagai fungsi invers dari y = f(x).

Contoh Soal 11 :

Tentukan invers dari fungsi berikut ini.

y = f (x) = 5x – 7

Kemudian, gambarkan grafik f (x) dan f^–1 (x).

Penyelesaian :

y = 5x – 7 ↔ 5x = y + 7

x = 

x = f-1 (y) = 

Jadi, fungsi invers dari y = f (x) = 5x – 7 yaitu f –1 (x) =  . Gambar grafik f (x) = 5x – 7 dan f^–1 (x) =  tampak pada Gambar 14.

Gambar 14. Fungsi invers.

Amati Gambar 14. dengan saksama, bagaimana posisi grafik f(x) dan f^–1(x) terhadap y = x. Apakah simetris?

Jika Anda amati grafik f (x) dan f^–1 x) dengan saksama, tampak bahwa grafik f^–1 x) simetris terhadap grafik f(x). Grafik f^–1 x) diperoleh dari grafik f(x) dengan mencerminkannya terhadap garis y = x. Oleh lantaran itu, untuk mencari f^–1 x) kalau diketahui f (x) sanggup pula dikerjakan dari persamaan f ° f^–1 x) = x. Coba Anda selesaikan invers dari f(x) = 5x – 7 dengan memakai f ° f^–1(x) = x.

Contoh Soal 12 :

1. Diketahui f (x) = 3x² + 4 dan 

Periksalah apakah g merupakan balikan (invers) dari f.

2. Tentukan fungsi invers dari 

Pembahasan :

1. Untuk memilih apakah g fungsi invers f, periksalah apakah fungsi komposisi (g ° f) (x) = x dan (f ° g) (x) = x.(g ° f) (x) = g {f (x)} = g (3x² + 4) = 

(f ° g) (x) = f {g (x)} = 

= x – 4 + 4 = x

Jadi, g merupakan balikan f sehingga f juga balikan g. Dengan kata lain, g = f^–1 dan f = g^–1 .

2. y = f (x) =  ↔ y (2x–1) = 3x + 4

↔ 2yx – y = 3x + 4 

↔ x (2y – 3) = y + 4

↔ 2yx – 3x = y + 4

↔ x = 

↔ x = f^–1 (y) = 

Jadi, f^–1 (x) = 

E. Invers dari Fungsi Komposisi

Seperti halnya fungsi yang lain, fungsi komposisi sanggup mempunyai invers, asalkan syarat fungsi invers dipenuhi. Amati Gambar 15.

Gambar 15. Fungsi komposisi sanggup mempunyai invers.

Diketahui, fungsi f dan g keduanya bijektif. Fungsi f memetakan x ke y dan fungsi g memetakan y ke z. Oleh lantaran f dan g bijektif maka balikan fungsi f adalah f^–1 dan balikan fungsi g adalah g^–1 . Amati bahwa fungsi komposisi g ° f memetakan x ke z sehingga balikan g ° f, yaitu (g ° f)^–1 memetakan z ke x. Dari Gambar 15. tampak bahwa f^–1 memetakan z ke y dan f^–1 memetakan y ke x. Dengan demikian, pemetaan komposisi f^–1 ° g^–1 memetakan z ke x. Jadi, invers fungsi komposisi (g ° f) yaitu :

(g ° f)^–1(x) = (f^–1 ° g^–1)(x)

Analog dengan cara tersebut, invers fungsi komposisi (f ° g) yaitu :

(f ° g)^–1(x) = (g^–1 ° f^–1)(x)

Contoh Soal 13 :

Diketahui f (x) = 3x² – 6 dan g (x) = 3x – 19. Tentukan

a. (f ° g)^–1 (x) b. (g ° f)^–1 (x)

Pembahasan :

• f ° f^–1 (x) = x

f (f^–1 (x)) = x

3 (f^–1 (x))² – 6 = x

(f^–1 (x))² = 

f^–1 (x) = 

• g ° g^–1 (x) = x

g (g^–1 (x)) = x

3 (g^–1 (x)) – 19 = x

g^–1 (x) = 

a. (f ° g)^–1 (x) = g^–1 ° f^–1 (x) = g^–1 (f^–1 (x))

b. (g ° f)^–1 (x) = f^–1 (g^–1(x)) = f^–1 

Contoh Soal 14 :

Jika f (x) =  , g^–1 (x) = , dan h (x) = g {f (x)}, tentukan

h^–1 (x).

Pembahasan :

Pertama, hitung g(x) sebagai berikut.

g^–1 (x) =  ↔ x g^–1 (x) = 1 – x

↔ x g^–1 (x) + x = 1

↔ x (g^–1 (x) + 1) =1

↔ x = 

Jadi, g (x) =

Kemudian, hitung h(x) sebagai berikut.

h (x) =g {f (x)} 

↔ h (x) = 

↔ h (x) = 

Hitung h–1(x) sebagai berikut. 

h (x) =  ↔ x h (x) = x – 1 ↔ x h (x) – x = – 1

↔ x (h (x) – 1) = – 1 ↔ x = 

Jadi, h^–1 (x)  = 

Anda kini sudah mengetahui Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers. Terima kasih anda sudah berkunjung ke Perpustakaan Cyber.

Referensi :

Djumanta, W. 2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah. Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, Jakarta. p. 250.