Program Linear, Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel, Contoh Soal, Rumus, Cara Menyelesaikan, Model Matematika, Pembahasan, Praktikum - Para pedagang atau pengusaha tentu ingin memperoleh laba maksimum. Sebelum melaksanakan transaksi ataupun pengambilan keputusan dalam usahanya, mereka niscaya menciptakan perhitungan yang matang wacana langkah apa yang harus dilakukan. Oleh alasannya ialah itu, diharapkan metode yang sempurna dalam pengambilan keputusan pedagang atau pengusaha tersebut untuk memperoleh laba maksimum dan meminimumkan kerugian yang mungkin terjadi.
Tujuan Pembelajaran :
- Setelah mempelajari serpihan ini, diharapkan kalian dapat
- menjelaskan sistem pertidaksamaan linear dua variabel dan penyelesaiannya;
- menentukan fungsi tujuan (fungsi objektif) beserta hambatan yang harus dipenuhi dalam kasus aktivitas linear;
- menggambarkan hambatan sebagai tempat pada bidang yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear;
- menentukan nilai optimum dari fungsi tujuan sebagai penyelesaian dari aktivitas linear;
- menafsirkan nilai optimum yang diperoleh sebagai penyelesaian kasus aktivitas linear.
Pada pokok bahasan kali ini, kita akan membahas suatu metode untuk mengoptimalkan (memaksimumkan/meminimumkan) laba atau biaya, yaitu aktivitas linear. Program linear banyak dipakai dalam kehidupan sehari-hari, contohnya dalam bidang ekonomi, perdagangan, dan pertanian.
Untuk mempelajari aktivitas linear, mari kita ingat kembali wacana cara memilih himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel.
A. Sistem Pertidaksamaan Linear
1. Menyelesaikan Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Pada pembahasan kali ini, kita akan memilih penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dengan dua variabel memakai metode grafik. Metode grafik dimaksudkan untuk melihat secara visual citra wacana tempat penyelesaian dari pertidaksamaan linear yang berbentuk aljabar. Karena secara umum grafik pertidaksamaan linear menyerupai ax + by ≥ c, ax + by > c, ax + by < c, dan ax + by ≤ c berupa tempat yang dibatasi oleh garis ax + by = c maka langkah-langkah dalam mengambar grafik pertidaksamaan linear adalah:
a. menggambar grafik garis ax + by = c sebagai batas daerahnya;
b. menyidik tempat penyelesaian yang dimaksud apakah berada di sebelah kiri, sebelah kanan, di atas, atau di bawah garis batas yang telah dilukis.
Suatu hal yang harus diingat dalam menggambar grafik sebuah garis ialah memilih dua titik sembarang pada garis itu lalu menghubungkannya dengan sebuah garis lurus, sedangkan dua titik sembarang yang gampang perhitungannya ialah titik potong garis ax + by = c dengan sumbu X dan titik potong garis dengan sumbu Y. Titik potong dengan sumbu X mempunyai bentuk (..., 0), yakni dicapai ketika nilai y = 0, dan titik potong dengan sumbu Y mempunyai bentuk (0, ...), yakni dicapai ketika nilai x = 0.
Dari alasan-alasan di atas maka untuk menggambar tempat penyelesaian pertidaksamaan linear ialah sebagai berikut.
a. Gambar grafik garis lurus pembatasnya dengan mengisi format :
x | 0 | ... |
y | ... | 0 |
(x, y) | (0, ...) | (..., 0) |
b. Menyelidiki tempat yang merupakan penyelesaian dengan mengambil salah satu titik yang mudah, yaitu (0, 0). Perhatikan contoh-contoh berikut.
Contoh Soal 1 :
Gambarlah tempat himpunan penyelesaian linear berikut pada bidang Cartesius.
a. 3x + 2y ≥ 6, dengan x, y ϵ R
b. 2x + y > – 4, dengan x, y ϵ R
Penyelesaian :
a. 3x + 2y ≥ 6, dengan x, y ϵ R
Untuk memilih tempat penyelesaian pertidaksamaan linear di atas, langkah-langkah pengerjaannya ialah sebagai berikut.
1) Menggambar grafik garis lurus pembatasnya
a) Titik potong dengan sumbu X, berarti y = 0. Kita ubah pertidaksamaan menjadi persamaan 3x + 2y = 6 sehingga 3x + 2(0) = 6 ↔ 3x = 6 ↔ x = 2. Jadi, titik potong grafik dengan sumbu X ialah (2, 0).
b) Titik potong dengan sumbu Y, berarti x = 0. Kita ubah persamaan menjadi 3x + 2y = 6 ↔ 3(0) + 2y = 6 ↔ 2y = 6 ↔ y = 3. Jadi, koordinat titik potong grafik dengan sumbu Y ialah (0, 3).
Hal tersebut sanggup disajikan dengan tabel berikut.
x | 0 | 2 |
y | 3 | 0 |
(x, y) | (0, 3) | (2, 0) |
Grafik 3x + 2y = 6 sanggup diperoleh dengan menciptakan garis yang menghubungkan koordinat (0, 3) dan (2, 0) menyerupai pada Gambar 1 (a).
 |
| Gambar 1. Garis yang menghubungkan koordinat pada grafik. |
2) Menyelidiki tempat penyelesaian
Gambar 1 (a) merupakan grafik himpunan penyelesaian untuk persamaan 3x + 2y = 6. Tampak bahwa garis 3x + 2y = 6 membagi bidang Cartesius menjadi dua daerah, yaitu atas (kanan) garis dan bawah (kiri) garis. Untuk memilih tempat himpunan penyelesaian 3x + 2y ≥ 6, ambil sembarang titik, contohnya (0, 0) dan substitusikan ke dalam pertidaksamaan linear 3x + 2y ≥ 6 sehingga diperoleh 3(0) + 2(0) ≥ 6 ↔ 0 ≥ 6 (pernyataan salah)
Karena titik (0, 0) terletak di bawah (kiri) garis dan sesudah kita substitusikan ke pertidaksamaan itu, diperoleh pernyataan yang salah maka titik (0, 0) tidak berada pada tempat penyelesaian. Jadi, tempat penyelesaiannya ialah tempat yang diberi arsiran, menyerupai pada Gambar 1 (b).
b. 2x + y > – 4, x, y ϵ R
Langkah-langkah untuk memilih tempat penyelesaian ialah sebagai berikut.
1) Menggambar grafik garis lurus pembatasnya
Dengan cara menyerupai di atas, diperoleh sebagai berikut.
Untuk x = 0 maka 2(0) + y = –4 ↔ y = –4.
Untuk y = 0 maka 2x + 0 = –4 ↔ x = –2
x | 0 | –2 |
y | –4 | 0 |
(x, y) | (0, –4) | (–2, 0) |
Jadi, titik potong dengan sumbu koordinat ialah (0, –4) dan (–2, 0). Gambarnya terlihat pada Gambar 2. (a).
2) Menyelidiki tempat penyelesaian
Untuk memilih tempat himpunan penyelesaian pertidaksamaan, kita ambil titik (0, 0). Dengan menyubstitusikan titik (0, 0) pada pertidaksamaan maka diperoleh 2(0) + 0 > –4 ↔ 0 > –4.
Terlihat bahwa pernyataan 0 > – 4 benar. Berarti, titik (0, 0) berada pada tempat penyelesaian, sedangkan garis 2x + y = –4 tidak memenuhi pertidaksamaan sehingga digambar putus-putus. Oleh alasannya ialah titik (0, 0) berada di atas garis 2x + y = –4 maka tempat di atas garis diberi arsiran. Jadi, tempat penyelesaiannya ialah tempat yang diarsir, menyerupai pada Gambar 2. (b). Grafiknya sanggup ditampilkan sebagai berikut.
 |
| Gambar 2. Grafik tempat himpunan penyelesaian pertidaksamaan. |
Contoh Soal 2 :
Tentukan tempat himpunan penyelesaian yang memenuhi sistem pertidaksamaan berikut.
a. x ≥ 0; y ≥ 0; 2x + y ≤ 4; x, y ϵ R
b. x ≥ 0; y ≥ 0; x ≤ 3; x + y ≤ 5; x, y ϵ R
Pembahasan :
a. x ≥ 0; y ≥ 0; 2x + y ≤ 4
1) Kita cari titik potong 2x + y = 4 dengan sumbu koordinat Cartesius.
x | 0 | 2 |
y | 4 | 0 |
(x, y) | (0, 4) | (2, 0) |
Untuk x = 0 → 2(0) + y = 4 ↔ y = 4.
Untuk y = 0 → 2x + 0 = 4 ↔ 2x = 4 ↔ x = 2.
Jadi, diperoleh titik potong (0, 4) dan (2, 0).
2) Grafik sistem pertidaksamaan linear tersebut tampak pada gambar di samping.
Pada grafik di samping,
a) penyelesaian x ≥ 0 tersebut berada di sebelah kanan sumbu Y maka yang kita arsir ialah tempat tersebut;
b) penyelesaian y ≥ 0 terletak di sebelah atas sumbu X maka kita arsir tempat tersebut;
c) untuk menyidik tempat himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + y ≤ 4 maka ambil titik (0, 0), lalu substitusikan ke 2x + y ≤ 4 sehingga diperoleh 2(0) + 0 ≤ 4 ↔ 0 ≤ 4.
Terlihat pernyataan di atas benar. Jadi, titik (0, 0) berada di dalam tempat penyelesaian sehingga tempat di mana titik (0, 0) berada, yaitu di bawah garis 2x + y = 4 kita arsir.
Dari ketiga himpunan penyelesaian yang diperoleh, sanggup disimpulkan bahwa tempat penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear itu ialah irisan atau interseksi dari ketiga himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut. Jadi, tempat yang diarsir ialah tempat penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear, menyerupai terlihat pada Gambar 3.
 |
| Gambar 3. Daerah yang diarsir ialah tempat penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear. |
b. x ≥ 0; y ≥ 0; x ≤ 3; x + y ≤ 5; x, y ϵ R
1) Kita cari titik potong x + y = 5 dengan sumbu koordinat Cartesius.
Untuk x = 0 → 0 + y = 5 ↔ y = 5
Untuk y = 0 → x + 0 = 5 ↔ x = 5
Jadi, diperoleh titik potong (0, 5) dan (5, 0)
2) Grafik sistem pertidaksamaan linear tersebut ialah sebagai berikut.
 |
| Gambar 4. Grafik sistem pertidaksamaan linear. |
Dari Gambar 4, tampak :
a) penyelesaian x ≥ 0 ialah tempat di sebelah kanan sumbu Y (daerah arsiran);
b) penyelesaian y ≥ 0 terletak di sebelah atas sumbu X (daerah arsiran);
c) penyelesaian x ≤ 3 ialah tempat di sebelah kiri garis x = 3;
d) penyelesaian pertidaksamaan x + y ≤ 5 ialah tempat di sebelah kiri (bawah garis x + y = 5);
e) titik potong garis x = 3 dan x + y = 5 dengan menyubstitusikan x = 3 ke persamaan x + y = 5 sehingga diperoleh y = 2. Jadi, titik potongnya ialah (3, 2).
Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan x ≥ 0, y ≥ 0, x ≤ 3, dan x + y ≤ 5 dengan x, y ϵ R ialah tempat segi empat OABC yang diarsir, menyerupai terlihat pada Gambar 4.
2. Model Matematika
Program linear ialah salah satu serpihan dari matematika terapan yang berisikan pembuatan aktivitas untuk memecahkan banyak sekali kasus sehari-hari. Persoalan-persoalan itu mengandung hambatan atau batasan yang sanggup diterjemahkan ke dalam model matematika. Model matematika ialah suatu hasil penerjemahan dari bahasa sehari-hari menjadi bentuk matematika berupa persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi.
Jadi, aktivitas linear tersusun atas sistem pertidaksamaan linear. Penyelesaian dari pertidaksamaan linear berupa tempat himpunan penyelesaian. Di antara penyelesaian tersebut, terdapat penyelesaian terbaik yang disebut penyelesaian optimum. Penyelesaian optimum sanggup berupa nilai maksimum atau nilai minimum dari suatu fungsi yang dinamakan fungsi objektif, fungsi sasaran atau fungsi tujuan. Untuk memahami lebih lanjut wacana aktivitas linear dan model matematika, perhatikan Aktivitas berikut.
Aktivitas :
Tujuan : Menentukan model matematika dari tragedi kehidupan sehari-hari serta menyelesaikannya.
Permasalahan : Bagaimana cara merumuskan dalam bahasa matematika dan menyelesaikannya bila permasalahan disajikan dalam bentuk tragedi sehari-hari?
Kegiatan : Simaklah kasus berikut. Suatu perusahaan produsen mebel memproduksi dua jenis produk, yaitu meja makan dan lemari. Meja makan dijual dengan harga Rp650.000,00 dan lemari dijual dengan harga Rp1.100.000,00. Perusahaan itu mempunyai sasaran sebanyak 500 unit mebel produknya harus terjual dalam periode itu. Untuk memproduksi satu unit meja makan, diharapkan waktu 2 hari, sedangkan untuk memproduksi satu unit lemari, diharapkan waktu 5 hari. Waktu yang disediakan 150 hari. Berapa banyak meja makan dan lemari yang harus diproduksi oleh perusahaan itu semoga pendapatannya maksimum?
1. Misalkan banyak meja makan dan lemari yang diproduksi dalam suatu variabel. Misalnya, banyak meja makan = x dan banyak lemari = y.
2. Susunlah pertidaksamaan-pertidaksamaan yang sesuai dengan kasus di atas.
a. Susun pertidaksamaan yang memuat banyak unit mebel yang diproduksi perusahaan itu.
b. Susun pertidaksamaan yang memuat waktu dalam proses produksinya.
c. Susun syarat bahwa banyak unit ialah bilangan cacah.
3. Susunlah suatu fungsi yang akan dimaksimumkan nilainya.
4. Dari pertidaksamaan-pertidaksamaan yang kalian peroleh, membentuk sistem pertidaksamaan. Gambarkan dalam bentuk grafik. Arsirlah tempat yang memenuhi sistem pertidaksamaan.
5. Bentuk apakah tempat himpunan penyelesaiannya (dalam grafik)?
6. Selidiki titik-titik sudutnya, dengan cara menyubstitusikan titik-titik itu ke dalam fungsi yang akan dimaksimumkan.
7. Dari langkah 6, berapakah tanggapan dari permasalahan ini?
Kesimpulan : Apa yang sanggup kalian simpulkan?
Setelah melaksanakan Aktivitas di atas, tentu kalian sanggup membayangkan permasalahan sehari-hari ke dalam bahasa matematika. Agar kalian lebih jelas, pelajari contoh-contoh berikut.
Contoh Soal 3 :
Linda membeli 3 camilan anggun A dan 2 camilan anggun B di supermarket. Oleh alasannya ialah itu, Linda harus membayar Rp3.400,00, sedangkan Wati membeli 2 camilan anggun A dan 3 camilan anggun B sehingga ia harus membayar Rp3.100,00. Jika harga sebuah camilan anggun A dan sebuah camilan anggun B masing-masing x rupiah dan y rupiah, buatlah model matematika dari kasus tersebut.
Jawaban :
Misalkan harga sebuah camilan anggun A ialah x dan harga sebuah camilan anggun B ialah y.
Untuk memudahkan pembuatan model matematika, kita buat tabel menyerupai tabel berikut.
Nama | Kue A | Kue B | Harga |
Linda | 3 | 2 | 3.400 |
Wati | 2 | 3 | 3.100 |
Berdasarkan jumlah uang yang dibayarkan Linda maka diperoleh 3x + 2y = 3.400, sedangkan menurut jumlah uang yang dibayarkan Wati, diperoleh 2x + 3y = 3.100. Karena x dan y mengatakan harga barang maka nilai x dan y harus berupa bilangan real non-negatif sehingga x ≥ 0, y ≥ 0; x, y ϵ R.
Jadi, model matematika dari kasus di atas ialah :
3x + 2y = 3.400
2x + 3y = 3.100
x ≥ 0, y ≥ 0
x, y ϵ R
Contoh Soal 4 :
Luas lahan parkir 360 m2. Luas rata-rata untuk sebuah kendaraan beroda empat 6 m2 dan untuk sebuah bus 24 m2. Lahan parkir itu tidak sanggup memuat lebih dari 25 kendaraan. Buatlah model matematika dari kasus tersebut.
Penyelesaian :
Misalkan banyak kendaraan beroda empat ialah x dan banyak bus ialah y.
Masalah tersebut sanggup disajikan dalam tabel berikut.
Dari tabel tersebut, diperoleh hubungan sebagai berikut.
6x + 24y ≤ 360
x + y ≤ 25
Karena x dan y mengatakan banyaknya kendaraan beroda empat dan bus maka x dan y harus berupa bilangan cacah.
Jadi, model matematika dari kasus tersebut ialah :
3. Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif
Anda kini sudah mengetahui Sistem Pertidaksamaan Linear. Terima kasih anda sudah berkunjung ke Perpustakaan Cyber.
Referensi :
Yuana, R. A. 2009. Khazanah Matematika 3 : untuk Kelas XII Sekolah Menengan Atas / MA Program Ilmu Pengetahuan. Sosial. Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, Jakarta. p. 240.
No comments:
Post a Comment