Pintar Pelajaran Pengertian Teladan Soal Mean Median Modus Kuartil, Dan Desil, Rumus, Cara Menghitung, Rataan Hitung Sementara, Data Ukuran, Statistik Deskriptif, Jawaban, Matematika

Pengertian Contoh Soal Mean Median Modus Kuartil, dan Desil, Rumus, Cara Menghitung, Rataan Hitung Sementara, Data Ukuran, Statistik Deskriptif, Jawaban, Matematika - Berikut ini ialah bahan perihal penyajian data ukuran menjadi data statistik deskriptif :

1. Nilai Rata-rata / Rataan Hitung (Mean)

Masih ingatkah Anda cara menghitung rataan hitung? Misalnya, seorang guru mencatat hasil ulangan 10 orang siswanya, sebagai berikut.

6 5 5 7 7,5 8 6,5 5,5 6 9

Dari data tersebut, ia sanggup memilih nilai rataan hitung, yaitu :

Jadi, nilai rataan hitungnya ialah 6,55.

Secara umum, apabila nilai data kuantitatif tidak dikelompokkan dan dinyatakan oleh x₁, x₂, …, x_n (terdapat n buah datum), nilai rataan hitung (mean) x ditentukan oleh rumus berikut.

Perhitungan nilai rataan hitung akan menjadi lain kalau guru tersebut mencatat hasil ulangan 40 orang siswanya sebagai berikut:

3 orang menerima nilai 4

4 orang menerima nilai 5

6 orang menerima nilai 5,5

8 orang menerima nilai 6

7 orang menerima nilai 7

10 orang menerima nilai 8

2 orang menerima nilai 9

Nilai rataan hitung siswa sanggup dicari sebagai berikut:

Jadi, nilai rataan hitungnya ialah 6,5.

Secara umum, apabila nilai-nilai data kuantitatif dinyatakan dengan x₁, x₂, …, x_n (terdapat n buah datum) dengan setiap nilai datum memiliki frekuensi f₁, f₂, …, f_n maka rataan hitung ( x ) ditentukan oleh rumus berikut.

Contoh Soal 1

Seorang peneliti mencatat banyak bayi yang lahir selama setahun di 20 kecamatan. Hasil pencatatannya disajikan berikut.

136 140 220193 130 158 242 127 184 213

200 131 111 160 217 281 242 242 281 192

a. Hitunglah rataan hitung (mean) data tersebut.

b. Tentukan jangkauan datanya.

c. Tentukanlah jangkauan antarkuartil.

Penyelesaian 1

Untuk menuntaskan soal ini, sanggup dipakai dua cara, yaitu tanpa memakai kalkulator dan dengan memakai kalkulator.

• Tanpa kalkulator (dengan rumus):

• Dengan kalkulator (fx–3600 Pv), tahapan perhitungan sebagai berikut:

1)	kalkulator "ON"
2)	MODE 3 x program SD
3)	masukkan data
136			data
140			data
…
…
…
192			data
4)	tekan tombol x
	x  =	190

Untuk kalkulator jenis lainnya, coba Anda cari informasi cara menghitung mean dengan kalkulator tersebut.

b. Jangkauan datanya adalah: J = x_n – x₁ = 281 – 111 = 170.

c. Setelah data diurutkan, diperoleh Q₁ = 138 dan Q₃ = 231.

Jangkauan antarkuartil ialah JK= Q₃ – Q₁ = 93.

Contoh Soal 2

Nilai rataan hitung (rata-rata) ujian matematika dari 38 orang siswa ialah 51. Jika nilai dari seorang siswa lain yang bernama Rahman digabungkan dengan kelompok itu maka nilai rataan hitung ujian matematika dari 39 orang siswa kini menjadi 52. Tentukanlah nilai yang diperoleh Rahman.

Diketahui:

Nilai rataan hitung 38 siswa ialah 51. Nilai rataan hitung 39 siswa ialah 52.

Ditanyakan:

Nilai ujian matematika yang diperoleh Rahman.

Pembahasan 2

Misalkan,

x_i = nilai ujian matematika dari siswa ke-i dengan i = 1, 2, ..., 38

x₃₉ = nilai ujian matematika yang diperoleh Rahman

Dengan memakai rumus rataan hitung, berlaku :

Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh :

Jadi, nilai ujian matematika yang diperoleh Rahman ialah 90.

Contoh Soal 3

Jika 30 siswa kelas XI A1 memiliki nilai rata-rata 6,5; 25 siswa kelas XI A2 memiliki nilai rata-rata 7; dan 20 siswa kelas XI A3 memiliki nilai rata-rata 8, tentukan rata-rata nilai tujuh puluh lima siswa kelas XI tersebut.

Jawaban 3

2. Menghitung Rataan Hitung dengan Menggunakan Rataan Hitung Sementara 

Selain memakai rumus subbab1, rataan hitung sanggup pula ditentukan dengan memakai rataan hitung sementara (x_s). Untuk kumpulan data berukuran besar, biasanya rataan hitung ditentukan dengan memakai rataan hitung sementara alasannya apabila dihitung dengan rumus di Subbab 1, perhitungannya akan rumit.

Langkah pertama dalam memilih rataan hitung dengan memakai rataan hitung sementara ialah memilih rataan sementara dari nilai tengah salah satu kelas interval. Kemudian, semua nilai tengah pada setiap kelas interval dikurangi rataan hitung sementara tersebut.

Setiap hasil pengurangan tersebut disebut simpangan terhadap rataan hitung sementara itu (d_i). Adapun rumus untuk mencari rataan hitung sementara ialah sebagai berikut.

Dalam hal ini,

f_i = frekuensi kelas ke-i

x_s = rataan hitung sementara

d_i = simpangan dari titik tengah kelas ke-i dengan rataan hitung sementara.

Contoh Soal 4 : (Soal Sipenmaru 1985)

Perhatikan data berikut.

nilai ujian	3	4	5	6	7	8	9
frekuensi	3	5	12	17	14	6	3

Seorang siswa dinyatakan lulus kalau nilai ujiannya lebih tinggi dari nilai rata-rata dikurangi 1. Dari data di atas, yang lulus ialah :

Penyelesaian 4

Siswa dinyatakan lulus kalau nilainya lebih dari :

6,07 – 1 = 5,07.

Jadi, jumlah yang lulus ialah :

= 17 + 14 + 6 + 3 = 40 orang.

Contoh Soal 5

Tabel 1. menawarkan hasil ulangan Fisika dari 71 siswa Kelas XI Sekolah Menengan Atas Merdeka. 

Interval Kelas	Frekuensi
40 – 44	3
45 – 49	4
50 – 54	6
55 – 59	8
60 – 64	10
65 – 69	11
70 – 74	15
75 – 79	6
80 – 84	4
85 – 89	2
90 – 94	2

Tentukanlah rataan hitung dengan memakai rataan hitung sementara.

Jawaban 5

Lengkapilah Tabel 1. dengan langkah-langkah sebagai berikut.

1. Tentukan nilai tengah dari setiap kelas ibarat berikut.

(batas bawah kelas + batas atas kelas) / 2

2. Pilih nilai tengah dari suatu kelas sebagai rataan sementara.

Misalnya, kita pilih rataan sementara ialah nilai tengah ke-6. Jadi, x_s = (65 + 69) / 2 = 67 .

3. Untuk setiap kelas, tentukan simpangan nilai tengahnya terhadap x_s , yaitu d_i = x_i – x_s .

Hasilnya tampak pada tabel 2. berikut.

Kelas Interval	fi	Nilai Tengah (xi)	di	fi di
40–44	3	42	–75	–25
45–49	4	47	–20	–80
50–54	6	52	–15	–90
55–59	8	57	–10	–80
60–64	10	62	–5	–50
65–69	11	67	0	0
70–74	15	72	5	75
75–79	6	77	10	60
80–84	4	82	15	60
85–89	2	87	20	40
90–94	2	92	25	50
	Σf = 71			Σ fi di = –90

4. Tentukan hasil kali f_i d_i danΣ f_i d_i  .

5. Hitung x dengan rumus :

3. Modus, Median, Kuartil, dan Desil

3.1. Modus (Mo)

Seorang guru ingin mengetahui nilai manakah yang paling banyak diperoleh siswanya dari data hasil ulangan matematika. Tentunya, ia akan memilih datum yang paling sering muncul. Misalnya, data hasil ulangan 10 orang siswa sebagai berikut :

7 4 6 5 7 8 5,5 7 6 7

Data yang paling sering muncul disebut modus. Modus dari data itu ialah 7 alasannya nilai yang paling sering muncul ialah 7. Modus mungkin tidak ada atau kalau ada modus tidak tunggal (lihat Contoh 10).

Jika data yang diperoleh berukuran besar, data perlu dikelompokkan semoga penentuan modus gampang dilakukan. Modus dari data yang dikelompokkan sanggup dicari dengan memakai rumus berikut.

dengan,

L = batas bawah positif (tepi bawah) dari kelas modus

d₁ = selisih antara frekuensi dari kelas yang mengandung modus dan frekuensi dari kelas yang mendahuluinya (sebelumnya).

d₂ = selisih antara frekuensi dari kelas yang mengandung modus dan frekuensi dari kelas berikutnya

i = interval kelas/panjang kelas.

Telah Anda ketahui modus ialah datum yang paling sering muncul. Prinsip ini dipakai untuk memilih kelas modus pada data yang dikelompokkan. Kelas modus ialah kelas yang frekuensinya paling banyak.

Contoh Soal 6

Tentukan modus dari data berikut ini.

a. 45, 50, 50, 64, 69, 70, 70, 70, 75, 80

b. 50, 65, 65, 66, 68, 73, 73, 90

c. 35, 42, 48, 50, 52, 55, 60

Pembahasan 6

a. Oleh lantaran nilai 70 muncul paling banyak (yaitu tiga kali muncul), modusnya ialah 70.

b. Oleh lantaran nilai 65 dan 73 muncul paling banyak (yaitu dua kali muncul), modusnya ialah 65 dan 73 (tidak tunggal).

c. Data 35, 42, 48, 50, 52, 55, 60 tidak memiliki modus (mengapa?).

Contoh Soal 7

Tabel 3. menawarkan hasil ulangan matematika dari 71 siswa Kelas XI Sekolah Menengan Atas Bhinneka. Tentukan modus dari data tersebut.

Interval Kelas	Frekuensi
40 – 44	2
45 – 49	2
50 – 54	6
55 – 59	8
60 – 64	10
65 – 69	11
75 – 79	6
80 – 84	4
85 – 89	4
90 – 94	3

Jawaban 7

Oleh lantaran kelas ke-7 memiliki frekuensi terbesar (frekuensinya 15) maka kelas ke-7 merupakan kelas modus.

i = 44,5 – 39,5 = 5

L = Batas bawah positif kelas ke-7 = 69,5 (tepi bawah kelas)

d₁ = 15 – 11 = 4

d₂ = 15 – 6 = 9

Jadi,

Cobalah tentukan nilai modus tersebut dengan memakai kalkulator. Apakah jadinya sama?

3.2. Median dan Kuartil

Dari data kuantitatif yang tidak dikelompokkan dan dinyatakan oleh x₁, x₂, …, x_n, (dengan x₁ < x₂ < … < x_n) untuk n yang berukuran besar (yang dimaksud n berukuran besar yaitu n ≥ 30) maka nilai ketiga kuartil, yaitu Q₁ (kuartil bawah), Q₂ (median), dan Q₃ (kuartil atas) ditentukan dengan rumus berikut.

Contoh Soal 8

Tentukan median, kuartil bawah, dan kuartil atas dari data berikut.

67	86	77	92	75	70
63	79	89	72	83	74
75	103	81	95	72	63
66	78	88	87	85	67
72	96	78	93	82	71

Pembahasan 8

Urutkan data dari kecil ke besar jadinya sebagai berikut.

No. Unit Data (xi)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Nilai Data	63	63	66	67	67	70	71	72	72	72

No. Unit Data (xi)	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Nilai Data	74	75	75	77	78	78	79	81	82	83

No. Unit Data (xi)	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Nilai Data	85	86	87	88	89	92	93	95	96	103

Untuk data yang dikelompokkan, nilai median (Me) dan kuartil (Q) ditentukan dengan rumus sebagai berikut.

dengan:

L_i = batas bawah positif dari kelas Q_i

F_i = jumlah frekuensi kelas-kelas sebelum kelas kuartil ke-i

f_i = frekuensi kelas kuartil ke-i

n = banyak data

i = panjang kelas/interval kelas

Ingatlah :

1. Q₂= median

2. i pada F_i dan f_i adalah sebagai indeks. i yang bangkit sendiri ialah sebagai panjang kelas.

Contoh Soal 9

Tentukan median, kuartil bawah, dan kuartil atas dari data pada Tabel. 4.

Interval Kelas	Frekuensi
40 – 44	2
45 – 49	2
50 – 54	6
55 – 59	8
60 – 64	10
65 – 69	11
70 – 74	15
75 – 79	6
80 – 84	4
85 – 89	4
90 – 94	3

Kunci Jawaban 9

	Kelas Interval	Frekuensi	Frekuensi Kumulatif
	40 – 44	2	2
	45 – 49	2	4
	50 – 54	6	10
Q1 →	55 – 59	8	18
	60 – 64	10	28
Q2 →	65 – 69	11	39
Q3 →	70 – 74	15	54
	75 – 79	6	60
	80 – 84	4	64
	85 – 89	4	68
	90 – 94	3	71

Jadi, kelas Q₁ ada di kelas ke-4 (kelas 55 – 59)

Jadi, kelas Q₂ ada di kelas ke-6 (kelas 65 – 69)

Jadi, kelas Q₃ ada di kelas ke-7 (kelas 70 – 74)

Dengan demikian, Q₁ , Q₂ , Q₃ dapat ditentukan sebagai berikut.

3.3. Desil

Untuk data sebanyak n dengan n ≥ 10, Anda sanggup membagi data tersebut menjadi 10 kelompok yang memuat data sama banyak. Ukuran statistik yang membagi data (setelah diurutkan dari terkecil) menjadi 10 kelompok sama banyak disebut desil. Sebelum data dibagi oleh desil, data harus diurutkan dari yang terkecil.

Oleh lantaran data dibagi menjadi 10 kelompok sama banyak maka didapat 9 desil. Amati pembagian berikut.

Terdapat 9 buah desil, yaitu desil pertama (D₁), desil kedua (D₂), ..., desil kesembilan (D₉).

Letak desil ditentukan dengan rumus berikut.

Dalam hal ini i = 1, 2, 3, ..., 9 dan n = banyak data.

Contoh Soal 10

Tentukan desil ke-1 dan desil ke-5 dari data berikut. 47, 33, 41, 37, 46, 43, 39, 36, 35, 42, 40, 39, 45

Jawaban 10

Data sesudah diurutkan menjadi 33, 35, 36, 37, 39, 39, 40, 41, 42, 43, 45, 46, 47.

Banyak data ialah n = 13.

Jadi, desil ke -1 ialah 33,8 dan desil ke-5 ialah 40.

Ingatlah :

1 + 1 + 5 + 7 sanggup dilihat pada kolom frekuensi kumulatif (kelas 45 – 49)

Untuk data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi, nilai desil ditentukan sebagai berikut.

Dalam hal ini.

i = 1, 2, 3, ..., 9

(t_b) D_i = tepi bawah kelas D_i

F_i = frekuensi kumulatif sebelum kelas D_i

f_i = frekuensi kelas D_i

p = panjang kelas

Contoh Soal 11

Tentukan nilai desil ketiga dari data pada Tabel 5.

Nilai	f i	Frekuensi Kumulatif
31–40	5	5
41–50	3	8
51–60	5	13
61–70	6	19
71–80	9	28
81–90	8	36
91–100	4	40

Jawaban 11

Diketahui i = 3 maka (i x n)/10 = (3 x 40)/10 = 12.

Desil ketiga (D₃) terletak di kelas: 51–60 (karena kelas 51–60 memuat data ke-9, 10, 11, 12, 13).

Anda kini sudah mengetahui Mean Median Modus. Terima kasih anda sudah berkunjung ke Perpustakaan Cyber.

Referensi :

Djumanta, W. 2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah. Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, Jakarta. p. 250.