Penyajian Data dan Datum, Terkecil, Terbesar, Populasi dan Sampel, Pengumpulan, Kuartil Bawah Atas, Median, Jangkauan, Antarkuartil, Simpangan, Pencilan, Outlier, Contoh Soal, Jawaban, Pengertian, Perbedaan, Matematika - Statistika berkaitan bersahabat dengan data. Oleh lantaran itu, sebelum dijelaskan mengenai pengertian statistika, terlebih dahulu akan dijelaskan mengenai data.
1. Pengertian Datum dan Data
Misalkan, hasil pengukuran berat tubuh 5 murid yakni 43 kg, 43 kg, 44 kg, 55 kg, dan 60 kg. Adapun tingkat kesehatan dari kelima murid itu yakni baik, baik, baik, buruk, dan buruk. Data pengukuran berat badan, yaitu 43 kg, 43 kg, 44 kg, 55 kg, dan 60 kg disebut fakta dalam bentuk angka. Adapun hasil investigasi kesehatan, yaitu baik dan jelek disebut fakta dalam bentuk kategori. Selanjutnya, fakta tunggal dinamakan datum. Adapun kumpulan datum dinamakan data.
2. Pengertian Populasi dan Sampel
Misal, seorang peneliti ingin meneliti tinggi tubuh rata-rata siswa Sekolah Menengan Atas di Kabupaten Lubuklinggau. Kemudian, ia kumpulkan data perihal tinggi tubuh seluruh siswa Sekolah Menengan Atas di Kabupaten Lubuklinggau. Data tinggi tubuh seluruh siswa Sekolah Menengan Atas di Kabupaten Lubuklinggau disebut populasi. Namun, lantaran ada beberapa hambatan ibarat keterbatasan waktu, dan biaya, maka data tinggi tubuh seluruh siswa Sekolah Menengan Atas di Kabupaten Lubuklinggau akan sulit diperoleh. Untuk mengatasinya, dilakukan pengambilan tinggi tubuh dari beberapa siswa Sekolah Menengan Atas di Kabupaten Lubuklinggau yang sanggup mewakili keseluruhan siswa Sekolah Menengan Atas di Kabupaten Lubuklinggau.
Data tersebut dinamakan data dengan nilai perkiraan, sedangkan sebagian siswa Sekolah Menengan Atas yang dijadikan objek penelitian disebut sampel. Agar diperoleh hasil yang berlaku secara umum maka dalam pengambilan sampel, diusahakan semoga sampel sanggup mewakili populasi. Berikut ini denah pengambilan sampel dari populasi.
3. Pengumpulan Data
Menurut sifatnya, data dibagi menjadi 2 golongan, yaitu sebagai berikut.
1) Data kuantitatif yakni data yang berbentuk angka atau bilangan. Data kuantitatif terbagi atas dua bagian, yaitu data cacahan dan data ukuran.
a) Data cacahan (data diskrit) yakni data yang diperoleh dengan cara membilang. Misalnya, data perihal banyak anak dalam keluarga.
b) Data ukuran (data kontinu) yakni data yang diperoleh dengan cara mengukur. Misalnya, data perihal ukuran tinggi tubuh murid.
2) Data kualitatif yakni data yang bukan berbentuk bilangan. Data kualitatif berupa ciri, sifat, atau citra dari kualitas objek. Data ibarat ini disebut atribut. Sebagai contoh, data mengenai kualitas pelayanan, yaitu baik, sedang, dan kurang.
Cara untuk mengumpulkan data, antara lain yakni melaksanakan wawancara, mengisi lembar pertanyaan (questionery), melaksanakan pengamatan (observasi), atau memakai data yang sudah ada, contohnya rataan hitung nilai rapor.
Kerapkali data yang Anda peroleh merupakan bilangan desimal. Agar perhitungan gampang dilakukan, bilangan tersebut dibulatkan. Adapun hukum pembulatan sebagai berikut.
1) Jika angka yang dibulatkan lebih dari atau sama dengan 5, pembulatan dilakukan dengan menambah 1 angka di depannya.
2) Jika angka yang akan dibulatkan kurang dari 5, angka tersebut dianggap tidak ada atau nol. Sekarang, coba cari di buku petunjuk penggunaan atau tanya ke abang kelas cara membulatkan bilangan dengan memakai kalkulator ilmiah.
4. Datum Terkecil, Datum Terbesar, Kuartil Bawah, Median, dan Kuartil Atas
Data berikut yakni tinggi tubuh 12 anak (dalam cm).
164 | 166 | 170 | 167 | 171 | 172 |
162 | 164 | 168 | 165 | 163 | 160 |
Dari data tersebut Anda sanggup mengetahui hal-hal berikut.
a) Anak yang paling pendek tingginya 160 cm.
b) 50% dari kedua belas anak itu tingginya tidak lebih dari 165,5 cm.
c) 25% dari kedua belas anak itu tingginya lebih dari 169 cm.
Untuk mengetahui hal-hal tersebut diharapkan statistik lima serangkai, yaitu data statistik x1, Q1, Q2, Q3, dan xn dengan x1 datum terkecil, Q1 = kuartil bawah, Q2 = median, Q3 = kuartil atas, dan xn datum terbesar (x1 dan xn dapat diketahui).
Untuk memilih datum terkecil dan datum terbesar Anda perlu menyusun data tersebut dalam suatu urutan menurut nilainya, yaitu sebagai berikut.
160 | 162 | 163 | 164 | 164 | 165 |
166 | 167 | 168 | 170 | 171 | 172 |
Amati bahwa sehabis data diurutkan Anda sanggup menemukan datum terkecil dan datum terbesar dengan mudah, yaitu datum terkecil = 160 cm dan datum terbesar = 172 cm. Jika data yang telah diurutkan itu dibagi menjadi 2 bab yang sama, diperoleh urutan berikut:
Tampak bahwa median membagi data ini menjadi dua bab yang sama, yaitu enam datum kurang dari median dan enam datum lebih dari median. Median untuk data tersebut adalah Q2 = (165 + 166)/2 = 165,5. Dengan demikian, Anda sanggup menyampaikan bahwa 50% dari data itu tingginya tidak lebih dari 165,5 cm. Bagaimana memilih median jikalau banyak data ganjil?
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga rumus memilih median? Cobalah nyatakan rumus tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajari tersebut merupakan hal khusus dari hal umum berikut.
Misalkan diketahui data terurut :
x1, x2, x3, ..., xn
dengan n = banyak datum.
1) Untuk n genap maka mediannya yakni :
2) Untuk n ganjil maka mediannya yakni :
Jika data yang telah diurutkan dibagi menjadi 4 bab yang sama, diperoleh :
Tampak bahwa kuartil membagi data menjadi empat bab yang sama, yaitu tiga datum kurang dari kuartil bawah (Q1), tiga datum antara Q1 dan Q2, tiga datum antara Q2 dan kuartil atas (Q3), dan tiga datum lebih dari Q3. Kuartil bawah dan kuartil atas sanggup ditentukan, yaitu :
Q1 = (163 + 164)/2 = 163,5 dan Q3 = (168 + 170)/2 = 169.
Dengan demikian, Anda sanggup menyampaikan bahwa 25% dari kedua belas anak itu tingginya lebih dari 169 cm.
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menemukan langkah-langkah cara memilih kuartil? Cobalah tentukan langkah-langkahnya dengan memakai kata-kata Anda sendiri.
Berikut ini yakni langkah-langkah memilih kuartil.
1. Data diurutkan dari datum terkecil ke datum terbesar.
x1, x2, x3, ..., xn
2. Tentukan kuartil kedua atau median (Q2) dengan membagi data menjadi dua bab sama banyak.
3. Tentukan kuartil bawah (Q1) dengan membagi data di bawah Q2 menjadi dua bab sama banyak.
4. Tentukan kuartil atas (Q3) dengan membagi data di atas Q2 menjadi dua bab sama banyak.
Contoh Soal 1
Tentukan datum terkecil, datum terbesar, median, kuartil bawah, dan kuartil atas dari data berikut:
a. 8, 7, 9, 4, 6, 5, 4
b. 9, 8, 7, 9, 4, 6, 5, 4
Penyelesaian 1
a. Banyak data (n) sama dengan 7. Jika data ini diurutkan dari yang terkecil, diperoleh :
Nomor urut data | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 |
Nilai data | 4 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
• Datum terkecil adalah x1 = 4.
• Datum terbesar adalah x7 = 9.
• Median merupakan datum tengah sehabis data diurutkan.
Jadi, median (Q2) = x4 = 6. Jika memakai rumus :
• Kuartil bawah (Q1)
Q1 = median dari 4 4 5
Jadi, Q1 = 4 (nilai paling tengah)
• Kuartil atas (Q3)
Q3 = median dari 7 8 9
Jadi, Q2 = 8 (nilai paling tengah)
b. Banyak datum (n) sama dengan 8. Jika data diurutkan, diperoleh :
Nomor urut data | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 |
Nilai data | 4 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 9 |
• Datum terkecil adalah x1 = 4.
• Datum terbesar adalah x8 = 9.
Median tidak sanggup ditentukan dengan cara ibarat soal (a). Median untuk data genap (n = 8) ditentukan dengan memakai rumus sebagai berikut.
Dengan cara yang sama, coba Anda tentukan Q1 dan Q2. Jika Anda menyelesaikannya dengan benar, diperoleh Q1 = 4,5 dan Q3 = 8,5.
Contoh Soal 2
Hasil dari suatu pengamatan yakni sebagai berikut.
12 11 9 8 9 10 9 12
Median dari pengamatan
tersebut yakni ....
Pembahasan 2
Data diurutkan dari yang terkecil.
8 9 9 9 10 11 12 12
Mediannya yakni (9 + 10)/2 = 9,5
5. Jangkauan Data, Jangkauan Antarkuartil, dan Simpangan Kuartil
5.1. Jangkauan Data
Jangkauan data atau disebut juga rentang data yakni selisih antara datum terbesar dan datum terkecil. Jika jangkauan data dinotasikan J, datum terbesar xn, dan datum terkecil x1 maka :
J = xn – x1
Jangkauan antarkuartil atau disebut juga rentang interkuartil yakni selisih kuartil atas (Q3) dan kuartil bawah (Q1). Jika jangkauan antarkuartil dinotasikan JK maka :
JK = Q3 – Q1
Perbedaan antara jangkauan data dan jangkauan antarkuartil diperlihatkan pada Gambar 1.
 |
| Gambar 1. Perbedaan antara jangkauan data dan jangkauan antarkuartil. |
Dari gambar tersebut tampak bahwa jangkauan antarkuartil merupakan ukuran penyebaran data yang lebih baik daripada rentang lantaran JK mengukur rentang dari 50% data yang di tengah. Selain jangkauan dan jangkauan antarkuartil, dikenal pula simpangan kuartil atau rentang semi-interkuartil. Simpangan kuartil (SK) yakni setengah dari jangkauan antarkuartil (JK).
SK = ½ JK = ½ (Q3 – Q1)
Contoh Soal 3
Seorang peneliti mengambil masing-masing 1 kg air dari 20 sungai yang berbeda untuk diuji kadar garamnya. Hasil pengujian (dalam mg) yakni :
193 | 282 | 243 | 243 | 282 | 214 | 185 | 128 | 243 | 159 |
218 | 161 | 112 | 131 | 201 | 132 | 194 | 221 | 141 | 136 |
Dari data tersebut tentukan:
a. jangkauan data;
b. jangkauan antarkuartil;
c. simpangan kuartil.
Jawaban 3
Data diurutkan alhasil sebagai berikut:
• Datum terkecil (x1) yakni 112.
Nomor urut data | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | x9 | x10 |
Nilai data | 112 | 128 | 131 | 132 | 136 | 141 | 159 | 161 | 185 | 193 |
Nomor urut data | x11 | x12 | x13 | x14 | x15 | x16 | x17 | x18 | x19 | x20 |
Nilai data | 194 | 201 | 214 | 218 | 221 | 243 | 243 | 243 | 282 | 282 |
• Datum terkecil (x1) yakni 112.
• Datum terbesar (xn) yakni 282.
• Median (Q2) = ½ (x10 + x11) = (193 + 194) = 193,5.
• Kuartil bawah (Q1)
= median dari :
x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | x9 | x10 |
112 | 128 | 131 | 132 | 136 | 141 | 159 | 161 | 185 | 193 |
= ½ (x5 + x6) = ½ (136 + 141) = 138,5.
• Kuartil atas (Q3)
= median dari :
x11 | x12 | x13 | x14 | x15 | x16 | x17 | x18 | x19 | x20 |
194 | 201 | 214 | 218 | 221 | 243 | 243 | 243 | 282 | 282 |
= ½ (x15 + x16) = ½ (221 + 243) = 232
a. Jangkauan data (J)
J = xn – x1 = 282 – 112 = 170
b. Jangkauan antarkuartil (JK)
JK = Q3 – Q1 = 232 – 138,5 = 93,5
c. SK = ½ JK = ½ (93,5) = 46,75.
5.2. Pencilan (Outlier)
Nilai statistik jangkauan (J) dan jangkauan antarkuartil (JK) sanggup dipakai untuk memperoleh citra perihal penyebaran data dengan cepat. Untuk keperluan tersebut didefinisikan satu langkah sebagai beriku
Satu langkah (L) yakni satu setengah kali panjang jangkauan antarkuartil (JK). Secara matematis, ditulis L = 1 ½ JK
Nilai yang letaknya satu langkah di bawah Q1 dinamakan pagar dalam (PD). Adapun nilai yang letaknya satu langkah di atas Q3 dinamakan pagar luar (PL)
PD = Q1 – L dan PL = Q3 + L
Semua data yang nilainya kurang dari pagar dalam atau lebih dari pagar luar disebut pencilan. Pencilan yakni datum yang mempunyai karakteristik berbeda dari datum lainnya. Dapat dikatakan bahwa pencilan merupakan datum yang tidak konsisten dalam kumpulan data.
Contoh Soal 4
Hasil tes matematika dari 20 siswa tercatat sebagai berikut.
70, 68, 71, 68, 66, 73, 65, 74, 65, 64, 78, 79, 61, 81, 60, 97, 44, 64, 83, 56.
Jika ada data pencilan, tentukan datum tersebut.
Pembahasan 4
Data sehabis diurutkan menjadi :
• Q1 = (64 + 64)/2 = 64
• Q2 = (68 + 68)/2 = 68
• Q3 = (74 + 78)/2 = 76
• JK = Q3 – Q1 = 76 – 64 = 12
• L = 1 ½ JK = 1 ½ . 12 = 18
PD = Q1 – L = 64 – 18 = 46
PL = Q3 + L = 76 + 18 = 94
Dengan demikian, ada dua pencilan dalam data ini, yaitu 44 dan 97.
Referensi :
Djumanta, W. 2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah. Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, Jakarta. p. 250.
No comments:
Post a Comment