Belajar Matematika Simpel: Pintar Pelajaran Teladan Soal Rumus Integral Kalkulus, Integral Tak Tentu Tertentu, Pengertian, Substitusi, Parsial, Penggunaan, Pembahasan, Fungsi Aljabar, Luas, Volume Benda Putar, Matematika

Contoh Soal Rumus Integral Kalkulus, Integral Tak Tentu Tertentu, Pengertian, Substitusi, Parsial, Penggunaan, Pembahasan, Fungsi Aljabar, Luas, Volume Benda Putar, Matematika - Pernahkah kalian memperhatikan bentuk kawat-kawat baja yang menggantung pada jembatan gantung? Perhatikan gambar jembatan Akashi-Kaikyo di atas selat Akashi yang menghubungkan Maiko di kota Kobe dengan kota Awaji di pulau Awaji, Jepang di bawah. Jika kalian perhatikan, lengkungan yang terbentuk ibarat lengkungan (kurva) parabola. Jika kita mengetahui persamaan lengkungan tersebut, kita akan sanggup dengan gampang menentukan luas kawasan yang dibatasi oleh kurva itu dan tubuh jalan bahkan kita juga sanggup menentukan panjang lengkungan itu. Ilmu hitung integral sanggup dipakai untuk menuntaskan kasus-kasus semacam itu.

Pernahkah kalian memperhatikan bentuk kawat Pintar Pelajaran Contoh Soal Rumus Integral Kalkulus, Integral Tak Tentu Tertentu, Pengertian, Substitusi, Parsial, Penggunaan, Pembahasan, Fungsi Aljabar, Luas, Volume Benda Putar, Matematika

Gambar 1. Foto udara jembatan Akashi-Kaikyō. [1]

Hitung integral sangat erat kaitannya dengan kalkulus diferensial atau turunan suatu fungsi. Sebenarnya hitung integral ditemukan terlebih dahulu gres kemudian ditemukan diferensial atau turunan. Namun demikian, hitung integral akan sanggup dimengerti dan dipahami dengan gampang melalui turunan suatu fungsi. Materi ihwal turunan telah kalian pelajari di kelas XI. Tentu kalian masih ingat, bukan? Namun, ada baiknya sebelum membahas integral, coba kalian ingat kembali konsep turunan.

A. Pengertian Integral

Setiap hari, tentulah kita melaksanakan aktivitas, mirip menghirup udara dan melepaskan udara. Melepas udara merupakan operasi kebalikan (invers) dari menghirup udara. Dalam matematika, kita juga mengenal operasi kebalikan (invers), contohnya pengurangan dengan penjumlahan, perkalian dengan pembagian, pemangkatan dengan penarikan akar, dan sebagainya. Pada subbab ini kita akan mempelajari invers dari diferensial, yaitu integral.

Kita telah mempelajari arti diferensial atau turunan di kelas XI. Jika kita mempunyai f(x) = x² + 4, turunannya yaitu f'(x) = 2x. Dari tumpuan fungsi tersebut, kita sanggup menentukan suatu fungsi yang turunannya f'(x) = 2x, yang disebut sebagai antiturunan atau antidiferensial atau pengintegralan. Jadi, pengintegralan merupakan operasi kebalikan dari pendiferensialan.

Misalnya diketahui f'(x) = 2x, fungsi ini merupakan turunan dari f(x) = x² + 10, f(x) = x² – log 3, atau f(x) = x² + 2 $+\sqrt{5}$ .

Terlihat fungsi-fungsi ini hanya berbeda konstantanya saja.

Secara umum, sanggup dituliskan bahwa f(x) = x² + c merupakan antiturunan dari f'(x) = 2x, dengan c yaitu bilangan real sembarang.

Dari uraian di atas sanggup didefinisikan sebagai berikut.

Fungsi F(x) disebut antiturunan dari f(x) pada suatu domain jika $+\frac{d}{dx}$ [F(x)] = f(x).

B. Integral Tak Tentu

Misalkan diberikan fungsi-fungsi berikut.

y = x² + 2x + 5

y = x² + 2x – 2

Kedua fungsi itu mempunyai turunan yang sama, yaitu $+\frac{dy}{dx}$ = 2x + 2. Sekarang, tinjau balik. Misalkan diberikan $+\frac{dy}{dx}$ 2x + 2. Jika dicari integralnya, akan diperoleh fungsi-fungsi

y = x² + 2x + 5,

y = x² + 2x – 2,

bahkan,

y = x² + 2x + 10,

y = x² + 2x – log 3,

dan sebagainya.

Dengan demikian, fungsi yang mempunyai turunan $+\frac{dy}{dx}$ = 2x + 2 bukan saja dua fungsi di atas, tetapi banyak sekali. Walaupun demikian, fungsi-fungsi itu hanya berbeda dalam hal bilangan tetap saja (seperti 5, –2, 10, log 3, dan seterusnya). Bilangan-bilangan ini sanggup disimbolkan dengan c. Karena nilai c itulah hasil integral ini disebut integral tak tentu.

1. Notasi Integral Tak Tentu

Perhatikan kembali definisi integral tak tentu di atas. Secara umum, jikalau F(x) menyatakan fungsi dalam variabel x, dengan f(x) turunan dari F(x) dan c konstanta bilangan real maka integral tak tentu dari f(x) sanggup dituliskan dalam bentuk :

ʃ f(x) dx=F(x)+c

dibaca ”integral fungsi f(x) ke x sama dengan F(x) + c”.

Keterangan:

ʃ f (x) dx = notasi integral tak tentu

F(x) + c = fungsi antiturunan

f(x) = fungsi yang diintegralkan (integran)

c = konstanta

dx = diferensial (turunan) dari x

2. Rumus Dasar Integral Tak Tentu

Pada subbab ini, akan dibahas integral fungsi aljabar saja. Oleh lantaran itu, kalian harus ingat kembali turunan fungsi aljabar yang telah kalian pelajari di kelas XI.

Pada pembahasan kalkulus diferensial atau turunan, diketahui bahwa turunan dari $+x^{n+1}$ + c ke x yaitu :

$+\frac{d}{dx}$ [ $+x^{n+1}$ + c] = (n + 1) $+x^{\left+(+n+1+\right+)-1}$ = (n + 1) xⁿ .

Dengan mengalikan $+\frac{1}{n+1}$ , untuk n ≠ –1 pada kedua ruas, diperoleh :

Jadi, $+\frac{1}{n+1}\frac{d}{dx}$ [ $+x^{n+1}$ + c] = $+\frac{1}{n+1}$ (n+1) xⁿ = xⁿ ............................................... (1)

Jika persamaan (1) dituliskan dalam bentuk integral, kalian akan memperoleh :

ʃ xⁿ dx = $+\frac{d}{dx}$ $+x^{n+1}$ + c ; n ≠ –1

Bagaimana jikalau n = 0? Apa yang kalian peroleh? Tentu saja untuk n = 0, persamaan di atas menjadi ʃ dx = x + c.

Pada bahan diferensial, kalian telah mengetahui jikalau y = F(x) + G(x) maka turunannya adalah $+\frac{dy}{dx}$ = f(x) + g(x), dengan f(x) turunan dari F(x) dan g(x) turunan dari G(x).

Dengan demikian, sanggup dinyatakan bahwa

ʃ [f(x)+g(x)] dx = ʃ f(x) dx + ʃ g(x) dx.

Hal ini juga berlaku untuk operasi pengurangan.

Dari uraian di atas, kita sanggup menuliskan rumus-rumus dasar integral tak tentu sebagai berikut.

1) ʃ a dx = ax + c

2) ʃa f (x) dx = a ʃf (x) dx

3) ʃ xn dx = $+\frac{1}{n+1}$ $+x^{n+1}$ + c ; n ≠ –1

4) ʃ axn dx = $+\frac{a}{n+1}$ $+x^{n+1}$ + c ; n ≠ –1

5) ʃ[ f (x) + g(x)] dx = ʃf (x) dx + ʃ g(x) dx

6) ʃ[ f (x) ʃ g(x)] dx = ʃ f (x) dx - ʃ g(x) dx

Contoh Soal Integral 1:

Tentukan hasil integral fungsi-fungsi berikut.

a. ʃ 5 dx

b. ʃ 4x⁵ dx

c. ʃ2 $+\sqrt[3]{x}$ dx

Pembahasan :

a. ʃ 5 dx = 5 ʃ dx = 5x + c

b. ʃ 4x⁵ dx = 4 ʃ x⁵ dx = $+\frac{4}{5+1}$ x⁵ + 1 + c = $+\frac{4}{6}$ x⁶ + c = $+\frac{2}{3}$ x⁶ +c

c. ʃ 2 $+\sqrt[3]{x}$ dx = 2 ʃx dx = $+\frac{2}{\frac{1}{3}+1}x^{\frac{1}{3}+1}$ + c = $+\frac{6}{4}x^{\frac{4}{3}}$ + c = $+\frac{3}{2}x^{\frac{4}{3}}$ + c

Contoh Soal Integral 2:

Selesaikan setiap pengintegralan berikut.

a. ʃ x⁴ $+\sqrt{x}$ dx

b. ʃ (x + 3)² dx

Penyelesaian :

a. ʃ x4 $+\sqrt{x}$ dx = ʃ x⁴ . x^1/2 dx = ʃ $+x^{4\frac{1}{2}}$ dx = $+\frac{1}{4\frac{1}{2}+1}x^{4\frac{1}{2}+1}$ dx + c = $+\frac{1}{4\frac{1}{2}+1}x^{\frac{11}{2}}$ + c

b. ʃ (x + 3)² dx = ʃ (x² + 6x + 9) dx = $+\frac{1}{3}$ x³ + 3x² + 9x + c

3. Menentukan Persamaan Kurva

Di kelas XI, kalian telah mempelajari gradien dan persamaan garis singgung kurva di suatu titik. Jika y = f(x), gradien garis singgung kurva di sembarang titik pada kurva yaitu y' = $+\frac{dy}{dx}$ = f'(x). Oleh lantaran itu, jikalau gradien garis singgungnya sudah diketahui maka persamaan kurvanya sanggup ditentukan dengan cara berikut.

y = ʃ f ' (x) dx = f(x) + c

Jika salah satu titik yang melalui kurva diketahui, nilai c sanggup diketahui sehingga persamaan kurvanya sanggup ditentukan.

Contoh Soal 3 :

Diketahui turunan dari y = f(x) adalah $+\frac{dy}{dx}$ = f '(x) = 2x + 3.

Jika kurva y = f(x) melalui titik (1, 6), tentukan persamaan kurva tersebut.

Jawaban :

Diketahui f '(x) = 2x + 3.

Dengan demikian, y = f(x) = ʃ (2x + 3) dx = x² + 3x + c.

Kurva melalui titik (1, 6), berarti f(1) = 6 sehingga sanggup kita tentukan nilai c, yaitu 1 + 3 + c = 6 ↔ c = 2.

Jadi, persamaan kurva yang dimaksud yaitu y = f(x) = x² + 3x + 2.

Contoh Soal 4 :

Gradien garis singgung kurva di titik (x, y) yaitu 2x – 7. Jika kurva tersebut melalui titik (4, –2), tentukanlah persamaan kurvanya.

Penyelesaian :

Gradien garis singgung yaitu f '(x) = $+\frac{dy}{dx}$ = 2x – 7 sehingga :

y = f(x) = ʃ (2x - 7) dx = x² – 7x + c.

Karena kurva melalui titik (4, –2) maka :

f(4) = –2 ↔ 4² – 7(4) + c = –2

↔ –12 + c = –2

↔ c = 10

Jadi, persamaan kurva tersebut yaitu y = x² – 7x + 10.

Contoh Soal 5 :

Biaya marginal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC = 4Q² – 3Q + 5, dengan Q = banyak unit dan biaya tetap k = 3, k yaitu konstanta integral. Tentukan persamaan biaya total (C).

Pembahasan :

Fungsi biaya marginal MC = 4Q² – 3Q + 5.

MC = dC / dQ = dengan kata lain dC = MC dQ

C = ʃ MC dQ

= ʃ (4Q² – 3Q + 5) dQ

= 4/3 Q³ - 3/2 Q² + 5Q + k

Oleh lantaran itu, C = 4/3 Q³ - 3/2 Q² + 5Q + k

C. Integral Tertentu

1. Pengertian Integral sebagai Luas Suatu Bidang Datar

Kalian niscaya sudah pernah mempelajari perhitungan luas bangkit datar. Bangun datar apa saja yang sudah kalian kenal? Bangun datar yang kalian kenal niscaya merupakan bangkit datar beraturan, contohnya segitiga, segi empat, lingkaran, dan sebagainya.

Gambar 2. Bangun datar yang dibatasi kurva y = f(x), sumbu X, serta garis x = a dan y = b.

Perhatikan Gambar 2. Apakah gambar kawasan yang diarsir tersebut merupakan bangkit datar yang sudah kalian kenal?

Termasuk bangkit apakah gambar kawasan tersebut? Dapatkah kalian menentukan luas bangkit datar tersebut dengan rumus yang sudah kalian kenal? Tentu saja tidak. Daerah atau bangkit datar pada Gambar 2. merupakan bangkit datar yang dibatasi kurva y = f(x), sumbu X, serta garis x = a dan y = b.

Untuk memahami pengertian integral sebagai luas suatu bidang datar, perhatikan Gambar 2. Daerah yang diarsir yaitu suatu kawasan yang dibatasi kurva y = f(x) dan sumbu X dari a hingga b. Dimisalkan fungsi y = f(x) terdefinisi pada interval tertutup [a, b].

Bagilah interval tertutup tersebut menjadi n buah subinterval yang sama lebar sehingga terdapat n buah titik tengah, yaitu x₁, x₂, x₃, ..., xn, dengan x₁ = ½ (t₀ + t₁), x₂ = ½ (t₁ + t₂), ..., x_n = ½ (t_n–1 + t_n) (perhatikan Gambar 3). Dimisalkan ujung paling kiri interval adalah t₀ = a dan ujung paling kanan adalah t_n = b dengan a < t₁ < t₂ ... < t_n–1 < b.

Gambar 3. Interval tertutup tersebut menjadi n buah subinterval yang sama lebar sehingga terdapat n buah titik tengah.

Misalkan panjang tiap subinterval adalah t_i – t_i–1 = ∆x. Pada tiap subinterval [t_i–1, t_i], tempatkan sebuah titik x (tidak harus di tengah, boleh sama dengan titik ujungnya).

Domain fungsi y = f(x) dibagi menjadi n buah subinterval dengan alas ∆x dan tinggi f(x_i) sehingga membentuk pias-pias persegi panjang. Luas masing-masing persegi panjang yaitu f(x_i) ∆x. Jika semua luas persegi panjang dijumlahkan maka diperoleh :

J = f(x₁) ∆x + f(x₂) ∆x + f(x₃) ∆x + ... +f(x_n) ∆x .

J = (f(x₁) + f(x₂) + f(x₃) + ... + f(x_n)) ∆x

J = $+\sum_{r=1}^{n}$ f (x_i) ∆x

dengan Σ merupakan notasi jumlah yang berurutan. J disebut dengan jumlahan Riemann. Notasi ini pertama kali dipakai oleh Bernhard Riemann.

Gambar 4. Jumlahan Riemann itu mendekati luas kawasan yang diarsir.

Jika banyak pias n mendekati tak berhingga (n → ∞), jumlahan Riemann itu mendekati luas kawasan dari Gambar 4. Oleh alasannya yaitu itu, luas L sanggup ditulis dalam bentuk :

L = $+\lim_{n\rightarrow+\infty}\sum_{i=1}^{n}$ f (xi) ∆x ............................................. (1)

Jika n → ∞ maka ∆x → 0.

Integral tertentu f dari a hingga b dinyatakan dengan $+\int_{a}^{b}$ f (x) dx dan oleh Riemann nilainya didefinisikan sebagai :

$+\int_{a}^{b}$ f (x) dx = $+\lim_{\Delta+x\rightarrow+0}\sum_{i=1}^{n}$ f (x_i) ∆x ............................................. (2)

Dari definisi integral tertentu di atas sanggup dikatakan $+\int_{a}^{b}$ f(x) dx menyatakan luas kawasan yang dibatasi oleh garis x = a, garis x = b, kurva y = f(x), dan sumbu X.

Gambar 5. luas kawasan yang dibatasi oleh garis x = a, garis x = b, kurva y = f(x), dan sumbu X.

Perhatikan bahwa substitusi (1) dan (2) menghasilkan :

L = $+\int_{a}^{b}$ f (x) dx ........................................................... (3)

Sekarang kita misalkan ʃ f (x) dx = F(x) + c. Luas L di atas merupakan fungsi dari x dengan x ϵ [a, b] berbentuk :

L(x) = $+\int_{a}^{x}$ f (x) dx = F(x) + c

Jika nilai t ada pada interval [a, b], yaitu {x | a ≤ x ≤ b} kita sanggup mendefinisikan luas L sebagai fungsi dari t berbentuk :

L(t) = $+\int_{a}^{t}$ f (x) dx = F(t) + c

Akibat dari pemisalan di atas, akan diperoleh :

L(a) = $+\int_{a}^{a}$ f (x) dx = F(a) + c = 0.

Sebab luas kawasan dari x = a hingga x = a berbentuk ruas garis sehingga luasnya sama dengan nol. Karena L(a) = 0 maka diperoleh :

F(a) + c = 0 atau c = –F(a) ..................... (4)

Akibat lain dari pemisalan itu, akan diperoleh

L(b) = $+\int_{a}^{b}$ f (x) dx = F(b) + c ................... (5)

Hasil substitusi dari persamaan (4) ke (5), diperoleh :

L(b) = $+\int_{a}^{b}$ f (x) dx = F(b) – F(a)

Dengan demikian, sanggup disimpulkan bahwa jikalau L yaitu luas kawasan yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a dan garis x = b maka :

L = $+\int_{a}^{b}$ f (x) dx = F(b) – F(a)

2. Pengertian Integral Tertentu

Kalian tahu bahwa :

$+\int_{a}^{b}$ f (x) dx = F(b) – F(a)

menyatakan luas kawasan yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b.

Misalkan f kontinu pada interval tertutup [a, b] atau a ≤ x ≤ b.

Jika F suatu fungsi sedemikian rupa sehingga F'(x) = f(x) untuk semua x pada [a, b], berlaku :

$+\int_{a}^{b}$ f (x) dx = $+\left+[+f\left+(+x+\right+)+\right+]_{a}^{b}$ = F(b) – F(a)

F(x) yaitu antiturunan dari f(x) pada a ≤ x ≤ b.

Menggambar Daerah yang Dibatasi oleh Kurva

Tentu kalian masih ingat bagaimana menggambar grafik fungsi linear, fungsi kuadrat, maupun fungsi trigonometri. Grafik fungsi-fungsi tersebut banyak dibahas di sini, berkaitan dengan pencarian luas kawasan yang batasi oleh kurva. Bagaimana cara menggambarkan kawasan itu? Misalkan kita akan menggambar kawasan yang dibatasi oleh kurva f(x) = x dari x = 0 hingga x = 2, sumbu X, dan garis x = 2.

Langkah pertama yaitu menggambar grafik f(x) = x.

Kemudian, tarik garis batasnya, yaitu dari x = 0 hingga x = 2 hingga memotong kurva. Arsir kawasan yang berada di bawah kurva f(x) = x dari x = 0 hingga x = 2 dan di atas sumbu X. Hasilnya tampak mirip gambar di bawah ini.

Gambar 6. Menggambar Daerah yang Dibatasi oleh Kurva.

Bagaimana jikalau kawasan yang akan digambar dibatasi oleh dua kurva? Pada dasarnya sama dengan cara di atas. Misalkan kita akan menggambar kawasan yang dibatasi oleh grafik f(x) = x dan g(x) = 2x dari x = 0 hingga x = 2 dan garis x = 2.

Terlebih dahulu, kita gambar f(x) = x dan g(x) = 2x pada bidang koordinat. Tarik garis batasnya, yaitu x = 0 dan x = 2 hingga memotong kedua grafik. Kemudian, arsir kawasan yang dibatasi oleh grafik itu dari x = 0 hingga x = 2. Hasilnya tampak mirip gambar di samping.

Cobalah kalian gambar kawasan yang dibatasi oleh kurva-kurva berikut.

1. f(x) = x² dan sumbu X

2. f(x) = x² dan g(x) = x

3. f(x) = x² dan g(x) = x³

Contoh Soal 7 :

Tentukan integral tertentu untuk menghitung luas kawasan yang diarsir pada gambar-gambar berikut.

Gambar 7. Menghitung luas kawasan yang diarsir memakai integral tertentu.

Kunci Jawaban :

a. Gambar 7 (a) merupakan grafik garis lurus yang melalui titik (0, 3) dan (3, 0) maka persamaan garisnya yaitu x + y = 3 atau y = 3 – x. Untuk batas kiri yaitu sumbu Y, berarti x = 0 dan batas kanan yaitu x = 3. Jadi, luas wilayahnya sanggup dinyatakan dengan $+\int_{0}^{3}$ (3 - x) dx

b. Gambar 7 (b) merupakan suatu kawasan yang dibatasi oleh sumbu X dan kurva y = f(x). Karena kurva memotong sumbu X di titik (0, 0) dan (6, 0) maka y = 6x – x². Untuk batas kiri yaitu garis x = 2 dan batas kanan yaitu x = 4. Jadi, luas wilayahnya sanggup dinyatakan dengan $+\int_{2}^{4}$ (6x - x²) dx.

Contoh Soal 8 :

Gambarkan daerah-daerah yang luasnya dinyatakan dengan integral berikut.

a. $+\int_{2}^{4}$ (x + 2) dx

b. $+\int_{0}^{2}$ (4 - x²) dx

Pembahasan :

a. Grafik y = f(x) = x + 2 mempunyai titik potong (0, 2) dan (–2, 0) sehingga $+\int_{2}^{4}$ (x + 2) dx sanggup digambarkan mirip pada Gambar 8.

Gambar 8. Grafik y = f(x) = x + 2.

b. $+\int_{0}^{2}$ (4 - x²) dx

Diketahui f(x) = 4 – x² dengan batas bawah x = 0 dan batas atas x = 2. Kurva f(x) = 4 – x² merupakan parabola dengan titik potong (–2, 0) dan (2, 0) yang membuka ke bawah. Dengan demikian, kawasan tersebut sanggup digambarkan mirip pada Gambar 9.

Gambar 9. Kurva f(x) = 4 – x²

Contoh Soal 9 :

Tentukan nilai-nilai integral berikut.

a. $+\int_{-1}^{1}$ (x + 3) dx

b. $+\int_{2}^{4}$ (x³ - x) dx

Penyelesaian :

3. Sifat-Sifat Integral Tertentu

Integral bekerjsama sanggup ditentukan dengan mudah. Untuk mempermudah perhitungan integral, kalian sanggup memanfaatkan sifat-sifat integral. Agar kalian menemukan sifat-sifat integral, perhatikan contoh-contoh berikut.

Contoh Soal 10 :

Hitunglah nilai integral dari fungsi berikut.

a. $+\int_{2}^{2}$ (2x + 4) dx

b. $+\int_{0}^{2}$ (3x² + 4) dx

c. $+\int_{2}^{0}$ (3x² + 4) dx

Jawaban :

Contoh Soal 12 :

Tentukan nilai-nilai integral berikut.

a. $+\int_{1}^{2}$ 6x² dx

b. 6 $+\int_{1}^{2}$ x² dx

c. $+\int_{2}^{3}$ (5x⁴ + 2x) dx

d. $+\int_{2}^{3}$ 5x⁴ dx + $+\int_{2}^{3}$ 2x dx

e. Dari nilai integral pada kepingan a hingga dengan d tersebut, apa yang sanggup kalian simpulkan dari relasi tersebut?

Penyelesaian :

Contoh Soal 13 :

a. $+\int_{1}^{4}$ 4x³ dx

b. $+\int_{1}^{2}$ 4x³ dx + $+\int_{2}^{4}$ 4x³ dx

c. Dari hasil a dan b, apa kesimpulan kalian?

Jawaban :

Dari contoh-contoh di atas maka sanggup dituliskan sifat-sifat integral sebagai berikut.

Misalkan f(x) dan g(x) yaitu fungsi-fungsi kontinu pada [a, b], berlaku sebagai berikut.

a. $+\int_{a}^{a}$ f (x) dx = 0

b. $+\int_{a}^{b}$ c f (x) dx = c $+\int_{a}^{b}$ f (x) dx , dengan c = konstanta

c. $+\int_{a}^{b}$ f (x) dx = - $+\int_{a}^{b}$ f (x) dx

d. $+\int_{a}^{b}$ [ f (x) ± g(x)] dx = $+\int_{a}^{b}$ f (x) dx + $+\int_{a}^{b}$ g(x) dx

e. $+\int_{a}^{c}$ (x) dx + $+\int_{a}^{b}$ f (x) dx = $+\int_{a}^{b}$ f (x) dx, dengan a ≤ c ≤ b

D. Pengintegralan dengan Substitusi

Salah satu cara untuk menuntaskan hitung integral yaitu dengan substitusi. Beberapa bentuk integral yang sanggup diselesaikan dengan melaksanakan substitusi tertentu ke dalam fungsi yang diintegralkan, contohnya bentuk $+\int$ uⁿdu. Bagaimana cara menyelesaikannya? Untuk itu, perhatikan uraian berikut.

Pada pembahasan sebelumnya, diperoleh

$+\int$ xⁿ = $+\frac{1}{n+1}x^{n+1}$ + c.

Oleh lantaran itu, untuk menuntaskan integral bentuk $+\int$ (f(x))ⁿ dx maka kita sanggup memakai substitusi u = f(x) sehingga integral tersebut berbentuk $+\int$ uⁿdu. Dengan demikian, diperoleh $+\int$ uⁿdu = $+\frac{1}{n+1}x^{n+1}$ + c. Oleh lantaran itu, sanggup dituliskan sebagai berikut.

$+\int$ (f(x))ⁿd(f(x)) = $+\int$ uⁿdu = $+\frac{1}{n+1}x^{n+1}$ + c

dengan u = f(x) dan n ≠ –1.

Contoh Soal 14 :

Tentukan hasil integral berikut.

a. ʃ (2x + 6)(x² + 6x + 3)⁷ dx

b. ʃ (x² - 8x + 1)(x - 4)dx

Pembahasan :

a. ʃ (2x + 6)(x² + 6x + 3)⁷ dx = ʃ (x² + 6x + 3)⁷ (2x + 6) dx

Cara 1:

Misalkan u = x² + 6x + 3 ↔ du/dx = 2x + 6

↔ du = (2x + 6) dx.

Oleh lantaran itu,

ʃ (x² + 6x + 3)⁷ (2x + 6) dx= ʃ u⁷ du

= 1/8 u⁸ + c

= 1/8 (x² + 6x + 3)⁸ + c

Cara 2:

ʃ (2x + 6)(x² + 6x + 3)⁷ dx = ʃ (x² + 6x +3)⁷ d (x² + 6x + 3)

= 1/8 (x² + 6x + 3)⁸ + c

b. ʃ (x² - 8x + 1)(x - 4) dx

Cara 1:

Misalkan u = x² – 8x + 1.

du/dx = 2x – 8 ↔ 1/2 du = (x – 4) dx

Oleh lantaran itu,

ʃ (x² - 8x + 1)(x - 4)dx = u. ½ du = ½ ʃ u du = ½ (1/2 u²) + c = ¼ u² + c = ¼ (x² – 8x + 1)² + c

Cara 2:

ʃ (x² - 8x + 1)(x - 4)dx

= ʃ (x² - 8x + 1) ½ d (x² - 8x + 1)

= ½ ʃ (x² - 8x + 1) d(x² - 8x + 1)

= ½ (1/2 (x² – 8x + 1)²) + c

= ½ (x² – 8x + 1)² + c

Tentukan integral berikut.

a. ʃ x $+\sqrt{x^{2}-1}$ dx

b. ʃ $+\frac{3x^{2}}{\sqrt{2x^{3}+1}}$ dx

Jawab:

a. ʃ x $+\sqrt{x^{2}-1}$ dx

Misalkan u = x² – 1 ↔ du = 2x dx sehingga x dx = ½ du

ʃ x $+\sqrt{x^{2}-1}$ dx = ʃ $+\sqrt{u}$ ½ du = 1/2 ʃ $+u^{\frac{1}{2}}$ du

b. ʃ $+\frac{3x^{2}}{\sqrt{2x^{3}+1}}$ dx

Misalkan u = 2x³ + 1 ↔ du = 6x² dx sehingga 3x² dx = ½ du

Bagaimana jikalau integral yang akan ditentukan yaitu integral tertentu? Caranya sama saja dengan integral tak tentu. Hanya, yang perlu diperhatikan yaitu batas integrasinya. Batas integrasi sanggup dipakai variabel sebelum substitusi maupun variabel substitusi. Untuk lebih jelasnya, perhatikan tumpuan berikut.

Contoh Soal 15 :

Tentukan nilai dari $+\int_{0}^{1}$ x $+\sqrt{x^{2}-1}$ dx.

Jawaban :

Misalkan u = x² – 1 ↔ du = 2x sehingga ½ du = xdx

Penentuan batas integrasi

Batas bawah: Untuk x = 0 maka u = 0² – 1 = –1.

Batas atas: Untuk x = 1 maka u = 1² – 1 = 0.

Jika kalian memakai variabel sebelum substitusi, yaitu x maka terlebih dahulu dicari integralnya. Setelah itu, substitusikan nilai x itu. Jadi, sesudah diperoleh hasil ʃ x $+\sqrt{x^{2-1}}$ dx = $+\frac{1}{3}\left+(+x^{2}-1+\right+)^{\frac{3}{2}}$ , substitusikan batas-batas x.

$+\left+[+\frac{1}{3}\left+(+x^{2}-1+\right+)^{\frac{3}{2}}+\right+]_{0}^{1}$

Kalian akan memperoleh hasil yang sama. Coba kalian uji.

E. Integral Parsial

Kadang-kadang, bentuk integral ʃ u dv, dengan u dan v merupakan fungsi-fungsi dalam variabel x, sangat sulit dikerjakan, sedangkan ʃ v du lebih gampang dikerjakan. Jika kita menjumpai bentuk mirip itu maka kita perlu mengetahui relasi antara kedua integral tersebut untuk memperoleh penyelesaian ʃ u dv.

Misalnya y = uv dengan y = y(x), u = u(x), dan v = v(x) merupakan fungsi diferensiabel. Jika fungsi y diturunkan maka diperoleh :

$+\frac{dy}{dx}=u\,+\frac{dv}{dx}+v\,+\frac{du}{dx}$

↔ dy = u dv + v du

↔ d(uv) = u dv + v du

Jika kedua ruas persamaan di atas diintegralkan maka diperoleh :

ʃ d(uv) = ʃ u dv + ʃ v du

ʃ uv = ʃ u dv + ʃ v du

Dengan demikian, diperoleh suatu rumus sebagai berikut.

ʃ u dv = uv – ʃ v du

Dari rumus di atas terlihat bahwa integral dipisah menjadi 2 bagian, yaitu u dan dv (yang mengandung dx) sehingga disebut sebagai integral parsial. Untuk memakai rumus integral parsial, perlu diperhatikan bahwa kepingan yang dipilih sebagai dv harus sanggup diintegralkan dan ʃ v du harus lebih sederhana (lebih gampang dikerjakan) daripada ʃ u dv . Agar lebih memahami integral parsial, perhatikan tumpuan berikut.

Contoh Soal 16 :

Tentukan ʃ x $+\sqrt{x}$ dx.

Penyelesaian :

Berdasarkan rumus integral parsial maka integral tersebut dibagi menjadi dua bagian, yaitu u dan dv. Untuk menentukan kepingan u dan dv ada beberapa kemungkinan sehingga harus dipilih yang paling sempurna sesuai dengan kaidah di atas.

Kemungkinan yang sanggup terjadi untuk menentukan u dan dv yaitu sebagai berikut.

a. Misalkan u = x $+\sqrt{x}$ dan dv = dx.

Oleh lantaran itu, du = $+\sqrt{x}-\frac{x}{2\sqrt{x}}$ dx dan v = x sehingga :

ʃ x $+\sqrt{x}$ dx = x $+\sqrt{x}$ (x) - ʃ x ( $+\sqrt{x}-\frac{x}{2\sqrt{x}}$ ) dx

Dari integral di atas terlihat bahwa bentuk tersebut sulit untuk ditentukan penyelesaiannya. Oleh lantaran itu, untuk pemisalan u dan dv di atas ditolak.

b. Misalkan u = $+\sqrt{x}$ dan dv = x dx.

Dengan demikian, diperoleh du = $+\frac{1}{2\sqrt{x}}$ dx dan v = ʃ x dx = ½ x².

sehingga :

v = ʃ x dx = $+\sqrt{x}.\frac{1}{2}x^{2}-\int+\frac{1}{2}x^{2}.\frac{1}{2\sqrt{x}}\:+dx=\frac{1}{2}x^{2}\sqrt{x}-\int+\frac{x^{2}}{4\sqrt{x}}\:+dx$

Dari bentuk integral di atas maka terlihat bahwa bentuk tersebut juga sulit ditentukan penyelesaiannya. Jadi, untuk pemisalan u dan dv di atas ditolak.

c. Misalkan u = x dan dv = $+\sqrt{x}$ dx

Untuk u = x ↔ du = dx

Untuk dv = $+\sqrt{x}$ dx ↔ ʃ dv = ʃ $+\sqrt{x}$ dx ↔ v = 2/3 $+x^{\frac{2}{3}}$

Oleh lantaran itu,

Contoh Soal 17 :

Tentukan ʃ x $+\sqrt{1+x}$ dx

Jawaban :

Misalkan u = x ↔ du = dx.

dv = $+\sqrt{1+x}$ dx

↔ ʃ dv = $+\int+\left+(+1+x+\right+)^{\frac{1}{2}}$ dx

↔ $+v=\frac{2}{3}\left+(+1+x+\right+)^{\frac{3}{2}}$

Oleh lantaran itu,

Ada suatu metode yang mempermudah pengerjaan integral parsial yang disebut dengan hukum Tanzalin. Aturan Tanzalin dipakai untuk menyelesaikan ʃ u dv apabila turunan ke-k dari fungsi u(x) bernilai nol dan integral ke-k dari fungsi v = v(x) ada.

Perhatikan contoh-contoh berikut.

Contoh Soal 18 :

Tentukan hasil integral $+\frac{8x^{2}}{\left+(+x+2+\right+)^{4}}$ dx.

Jawaban :

$+\frac{8x^{2}}{\left+(+x+2+\right+)^{4}}$ dx

↔ 8 ʃ x²(x + 2)^-4 dx

Untuk integral di atas, kepingan yang lebih gampang didiferensialkan adalah x² . Jadi, u = x² dan dv = (x + 2)^-4 dx. Kita gunakan hukum Tanzalin untuk mengerjakan integral tersebut.

F. Penggunaan Integral Tertentu

Pada pembahasan sebelumnya, kita telah mempelajari teori-teori yang berafiliasi dengan integral tertentu. Sekarang kita akan mempelajari beberapa penggunaan integral tertentu, yaitu untuk menentukan luas suatu kawasan dan volume benda putar jikalau suatu kawasan diputar mengelilingi sumbu tertentu.

1. Luas Daerah yang Dibatasi oleh Kurva y = f(x), Sumbu X, Garis x = a, dan Garis x = b

a. Untuk f(x) ≥ 0 pada Interval a ≤ x ≤ b

Misalkan L yaitu luas kawasan pada bidang Cartesius yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a dan garis x = b mirip gambar di bawah ini.

Gambar 10. Luas Daerah Untuk f(x) ≥ 0 pada Interval a ≤ x ≤ b.

Luas kawasan L ditentukan oleh rumus berikut.

L = $+\int_{a}^{b}$ f (x) dx

Contoh Soal 19 :

Suatu kawasan dibatasi oleh kurva y = x – 1, x = 1, x = 3, dan sumbu X. Lukislah kurva tersebut dan arsir kawasan yang dimaksud, kemudian tentukan luasnya.

Jawaban :

Kurva kawasan yang dimaksud mirip Gambar 11.

Gambar 11. Suatu kawasan dibatasi oleh kurva y = x – 1, x = 1, x = 3, dan sumbu X.

b. Kurva f(x) ≤ 0 pada Interval a ≤ x ≤ b

Misalkan L yaitu luas kawasan pada bidang Cartesius yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b mirip Gambar 12.

Gambar 12. Luas daerah Kurva f(x) ≤ 0 pada Interval a ≤ x ≤ b.

Dari gambar di samping, nilai integral tertentu $+\int_{a}^{b}$ f (x) dx akan bernilai negatif. Padahal luas suatu kawasan harus bernilai positif sehingga rumus untuk menghitung luas kawasan di bawah sumbu X sebagai berikut.

L = - $+\int_{a}^{b}$ f(x) dx = $+\int_{b}^{a}$ f(x) dx

Contoh Soal 20 :

Tentukan luas kawasan yang dibatasi oleh

a. y = f(x) = –3, sumbu X, garis x = 1 dan x = 5;

b. y = f(x) = 1 – x² , sumbu X, garis x = 1, dan x = 2.

Jawaban :

a. y = f(x) = –3 sanggup digambarkan mirip Gambar 13.

Gambar 13. kurva y = f(x) = –3.

Karena kawasan yang dimaksud berada di bawah sumbu X maka :

$+\fn_jvn+L=-\int_{a}^{b}f\left+(+x+\right+)dx=-\int_{1}^{5}-3\,+dx=\int_{1}^{5}3\,+dx=\left+[+3x+\right+]_{1}^{5}=3\left+(+5+\right+)-3\left+(+1+\right+)=12$

b. Kurva y = 1 – x² tampak mirip Gambar 14.

Gambar 14. Kurva y = 1 – x²

Karena kawasan yang akan dicari luasnya berada di bawah sumbu X maka luasnya yaitu :

c. Untuk f(x) ≥ 0 pada Interval a ≤ x ≤ c dan f(x) ≤ 0 pada Interval c ≤ x ≤ b

Misalkan L luas kawasan yang dibatasi oleh y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b mirip gambar di bawah ini.

Gambar 15. Luas kawasan untuk f(x) ≥ 0 pada Interval a ≤ x ≤ c dan f(x) ≤ 0 pada Interval c ≤ x ≤ b.

Luas kawasan L tidak sanggup dihitung memakai rumus $+\int_{a}^{b}$ f (x) dx lantaran luas kawasan L terbagi menjadi dua bagian, yaitu di atas dan di bawah sumbu X sehingga akan memperlihatkan hasil yang salah. Cara menghitung luas kawasan L yaitu dengan membagi luas kawasan L menjadi dua bagian, yaitu L₁ sebagai luas kawasan yang berada di atas sumbu X dan L₂ sebagai luas kawasan yang berada di bawah sumbu X. Oleh lantaran itu, luas seluruh kepingan yang diarsir adalah

L = $+\int_{a}^{c}$ f (x) dx - $+\int_{c}^{b}$ f (x) dx = $+\int_{c}^{b}$ f (x) dx + $+\int_{b}^{c}$ f (x) dx

Contoh Soal 21 :

Tentukan luas kawasan yang dibatasi oleh kurva y = x² + 4x + 3, sumbu X, sumbu Y, dan x = 3.

Jawaban :

Gambar kurva y = x² – 4x + 3 tampak di bawah ini.

Gambar 16. kurva y = x² – 4x + 3

Grafik memotong sumbu X sehingga diperoleh titik potong (1, 0) dan (3, 0). Daerah yang dimaksud yaitu kawasan yang diarsir. Kita bagi kawasan tersebut menjadi dua kepingan yaitu L₁ dan L₂. Karena L₂ terletak di bawah sumbu X (bernilai negatif), L₂ diberi tanda negatif (agar menjadi positif). Oleh lantaran itu, luas kawasan yang dicari yaitu sebagai berikut.

2. Luas Daerah antara Dua Kurva

Misalkan L yaitu luas kawasan yang dibatasi oleh kurva y₁ = f(x) dan y₂ = g(x), dengan f(x) > g(x), x = a, dan x = b mirip pada Gambar 17.

Gambar 17. Luas kawasan antara dua kurva.

Luas kawasan tersebut sanggup dihitung dengan cara berikut.

L = Luas TURS – Luas TUQP

L = $+\int_{a}^{b}$ f (x) dx - $+\int_{a}^{b}$ g(x) dx

L = $+\int_{a}^{b}$ { f (x) g(x)} dx

L = $+\int_{a}^{b}$ (y₁ - y₂) dx

Jadi, luas kawasan antara dua kurva y₁ = f(x), y₂ = g(x), x = a, dan x = b yaitu sebagai berikut.

Contoh Soal 22 :

Tentukan luas kawasan yang dibatasi oleh kurva y = x² dan y = x + 2.

Gambar 18. luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² dan y = x + 2.

Penyelesaian :

Batas-batas x diperoleh dengan menentukan titik-titik potong kedua kurva, yaitu :

x² = x + 2

↔ x² – x – 2 = 0

↔ (x + 1)(x – 2) = 0

↔ x = –1 atau x = 2

Untuk x = –1 maka nilai y = 1.

Untuk x = 2 maka nilai y = 4.

Jadi, titik potong kedua kurva, yaitu x = –1 dan x = 2 merupakan batas pengintegralan.

Contoh Soal 23 :

Tentukan luas kawasan yang dibatasi parabola y = x² dan garis 2x – y + 3 = 0.

Jawaban :

y₁ = x² dan 2x – y + 3 = 0 ↔ y₂ = 2x + 3.

y₁ – y₂ = 0

x² – (2x + 3) = 0

x² – 2x – 3 = 0 ↔ a = 1, b = –1, dan c = –3.

D = (–2)² – 4 . 1 . (–3)

= 4 + 12

= 16

Luas = $+\frac{D\sqrt{D}}{6a^{2}}=\frac{16\sqrt{16}}{6.1^{2}}=\frac{16x4}{6}=\frac{32}{3}\:+satuan\:+luas$

(Coba kalian tunjukkan kawasan yang dimaksud dengan menggambarkannya pada bidang koordinat.)

3. Volume Benda Putar (Pengayaan)

Benda putar yaitu suatu benda yang terbentuk dari suatu kawasan tertutup pada bidang Cartesius dan diputar mengelilingi sumbu X atau sumbu Y dengan satu putaran penuh (360^o).

Misalnya:

Gambar 19. Benda putar.

a. Daerah Dibatasi Kurva y = f(x), Sumbu X atau Sumbu Y, Garis x = a, dan Garis x = b

1) Perputaran Mengelilingi Sumbu X

Misalkan suatu kawasan dibatasi kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b diputar mengelilingi sumbu X mirip pada Gambar 20 (a).

Gambar 20. Perputaran Mengelilingi Sumbu X.

Jika benda putar tersebut dipotong dengan tebal potongan setebal ∆x dari interval a ≤ x ≤ b, akan terbentuk n buah keping. Keping tersebut berupa silinder dengan jari-jari y = f(x_i) dan tinggi (tebalnya) ∆x . Perhatikan Gambar 20 (b).

Volume keping ke-i adalah V_i = π y_i² ∆x , sedangkan volume semua benda yaitu jumlah volume keping sebanyak n buah, yaitu :

V = $+\sum_{i=1}^{n}$ π y_i² ∆x

Jika n → ∞ maka ∆x → 0 sehingga diperoleh :

V = $+\lim_{n\rightarrow+\infty}\sum_{i=1}^{n}$ π y_i² ∆x = $+\int_{a}^{b}$ π y² ∆x

Dengan demikian, sanggup kita simpulkan sebagai berikut.

Volume benda putar yang terjadi dari kawasan yang dibatasi oleh y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360^o , volumenya yaitu :

V = π $+\int_{a}^{b}$ y² dx

Contoh Soal 24 :

Tentukan volume benda putar yang terjadi jikalau bidang datar yang dibatasi oleh kurva y = x, sumbu X, dan garis x = 3 diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360^o .

Gambar 21. Volume benda putar yang terjadi jikalau bidang datar yang dibatasi oleh kurva y = x, sumbu X, dan garis x = 3.

Jawaban :

$+\fn_jvn+V=\pi+\int_{a}^{b}y^{2}\:+dx=\pi+\int_{0}^{3}x^{2}\:+dx=\pi+\left+[+\frac{1}{3}x^{3}+\right+]_{0}^{3}=\pi+\left+[+\frac{1}{3}\left+(+3+\right+)^{3}-0+\right+]$

Volume = 9 π satuan volume

2) Perputaran Mengelilingi Sumbu Y

Misalkan suatu kawasan dibatasi kurva y = f(x), sumbu Y, garis y= c, dan y = d diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360^o , akan membentuk benda putar mirip gambar di bawah ini.

Gambar 22. Perputaran Mengelilingi Sumbu Y.

Cara menentukan volume benda putar dari kawasan yang diputar mengelilingi sumbu Y sama mirip menentukan volume benda putar yang mengelilingi sumbu X.

Jika kawasan yang dibatasi oleh x = f(y), sumbu Y, garis y = c, dan garis y = d diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360^o , volume benda putarnya yaitu :

V = π $+\int_{c}^{d}$ x² dy

Contoh Soal 25 :

Tentukan volume benda putar yang terjadi jikalau kawasan yang dibatasi oleh sumbu Y, kurva y = x² , garis y = 2, dan garis y = 5 diputar mengelilingi sumbu Y.

Gambar 23. Volume benda putar yang terjadi jikalau kawasan yang dibatasi oleh sumbu Y, kurva y = x² , garis y = 2, dan garis y = 5.

Jawaban :

b. Volume Benda Putar Daerah di antara Dua Kurva

1) Perputaran Mengelilingi Sumbu X

Dimisalkan A yaitu kawasan tertutup yang dibatasi oleh kurva-kurva y₁ = f(x) dan y₂ = g(x) dengan | f(x) | ≥ | g(x) | pada interval a ≤ x ≤ b. Daerah yang terbentuk diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360^o sehingga terbentuk suatu benda putar yang tengahnya kosong. Perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar 24. Volume Benda Putar Daerah di antara Dua Kurva, Perputaran Mengelilingi Sumbu X.

Volume benda yang terbentuk dari kawasan yang dibatasi oleh kurva y₁ = f(x), y₂ = g(x), garis x = a dan x = b yaitu :

Dengan demikian, sanggup disimpulkan sebagai berikut.

Jika kawasan yang dibatasi oleh kurva y₁ = f(x), kurva y₂ = g(x), garis x = a, dan garis x = b, dengan | f(x) | ≥ | g(x) | diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360^o maka volume benda putar yang terjadi yaitu :

V = π $+\int_{a}^{b}$ (y₁² - y₂²) dx atau V = π $+\int_{a}^{b}$ [( f (x))² - (g(x))² ] dx

Contoh Soal 26 :

Tentukan volume benda putar yang terjadi, jikalau kawasan yang dibatasi oleh kurva y = 6x – x² dan y = x diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360^o

Gambar 25. Volume benda putar yang terjadi, jikalau kawasan yang dibatasi oleh kurva y = 6x – x² dan y = x.

Jawaban :

Perpotongan antara kurva y = 6x – x² dan y = x yaitu sebagai berikut.

y₁ = y₂

↔ 6x – x² = x

↔ 5x – x² = 0

↔ x(5 – x) = 0

↔ x = 0 atau x = 5

Nilai x = 0 dan x = 5 dipakai sebagai batas-batas integrasi volume benda putarnya. Dengan demikian, diperoleh :

2) Perputaran Mengelilingi Sumbu Y

Misalkan A yaitu kawasan tertutup yang dibatasi oleh kurva-kurva x₁ = f(y) dan x² = g(y) dengan |f(y)| ≥ |g(y)| pada interval :

c ≤ y ≤ d.

Cara yang sama sanggup diterapkan untuk mencari volume benda putar yang dibatasi dua kurva x₁ = f(y), x₂ = g(y), garis y = c dan y = d mirip dikala kita menentukan volume benda putar jikalau diputar mengelilingi sumbu X.

Gambar 26. Volume Benda Putar Daerah di antara Dua Kurva Perputaran Mengelilingi Sumbu Y.

Dengan demikian, sanggup ditunjukkan bahwa volume benda putar itu yaitu sebagai berikut.

Jika suatu kawasan yang dibatasi oleh kurva x₁ = f(y), kurva x₂ = g(y), garis y = c, dan garis y = d dengan |f(y)| ≥ |g(y)| diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360^o, volume benda putar yang terjadi yaitu :

Contoh Soal 27 :

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jikalau kawasan yang dibatasi oleh kurva y = x² , y = 3x² , dan y = 3 di kuadran pertama diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360^o.

Gambar 27. Volume benda putar yang terjadi jikalau kawasan yang dibatasi oleh kurva y = x² , y = 3x² , dan y = 3.

Pembahasan :

Kurva y = x² → x₁ = $+\fn_jvn+\sqrt{y}$ → x₁² = y

Kurva y = 3x² ↔ x₂ = $+\fn_jvn+\sqrt{\frac{1}{3}y}$

↔ x₂² = 1/3 y

Dengan demikian, volume benda putarnya yaitu :

V = 3π satuan volume

Anda kini sudah mengetahui Integral. Terima kasih anda sudah berkunjung ke Perpustakaan Cyber.

Referensi :

Yuana, R. A. 2009. Khazanah Matematika 3 : untuk Kelas XII Sekolah Menengan Atas / MA Program Ilmu Pengetahuan. Sosial. Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, Jakarta. p. 240.

Referensi Lainnya :

[1] http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Akashi_Bridge.JPG

Belajar Matematika Simpel

Thursday, September 12, 2019

Pintar Pelajaran Teladan Soal Rumus Integral Kalkulus, Integral Tak Tentu Tertentu, Pengertian, Substitusi, Parsial, Penggunaan, Pembahasan, Fungsi Aljabar, Luas, Volume Benda Putar, Matematika

No comments:

Post a Comment