Pengertian Nilai Stasioner Fungsi, Contoh Soal, Rumus, Cara Menentukan dan Menghitung, Pembahasan, Matematika - Berikut ini yaitu materi lengkapnya :
1. Pengertian Nilai Stasioner Fungsi
Gambar 1. merupakan grafik fungsi f(x) = – (x – 1)2 + 4. Turunan pertama dari fungsi f(x) = – (x – 1)2 + 4 yaitu f '(x) = –2(x – 1). Untuk x = 1, diperoleh f '(1) = –2(1 – 1) = 0. Oleh alasannya yaitu nilai f '(1) = 0 maka fungsi f(x) = –(x – 1)2 + 4 mencapai nilai stasioner di x = 1 dengan nilai stasioner f(1) = – (1 – 1)2 + 4 = 4. Selanjutnya, titik (1, 4) disebut titik stasioner.
 |
| Gambar 1. grafik fungsi f(x) = – (x – 1)2 + 4. |
Dari tumpuan di atas dapatkah Anda mengira pengertian nilai stasioner fungsi? Cobalah nyatakan dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep nilai stasioner fungsi yang telah Anda pelajari tersebut merupakan hal khusus dari hal umum berikut.
Amati f "(x) > 0 untuk x < 0, dikatakan f cekung ke atas pada x < 0, f "(x) < 0 untuk 0 < x < 2, dikatakan f cekung ke bawah pada 0 < x < 2, dan f "(x) > 0 pada x > 2, dikatakan f cekung ke atas pada x > 2.
Di sekitar x = 0 (titik (0, 0)) terjadi perubahan kecekungan dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah sehingga titik (0, 0) merupakan titik belok grafik fungsi f. Apakah titik (2, 0) merupakan titik belok? Bagaimana dengan titik (3, 0)? Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan pengertian nilai stasioner fungsi? Cobalah nyatakan pengertian nilai stasioner fungsi dengan kata-kata Anda sendiri.
Definisi 1 :
Diketahui fungsi y = f(x) kontinu dan sanggup diturunkan (diferentiable) di x = c. Fungsi y = f(x) mempunyai nilai stasioner f(c) jikalau f '(c) = 0 dan titik (c, f(c)) disebut titik stasioner.
Contoh Soal 1 :
a. Tentukan nilai stasioner fungsi f(x) = 3x2 – 6x + 5.
b. Tentukan nilai stasioner dan jenisnya untuk fungsi f(x) = x3 + 4x2 – 3x + 2.
Pembahasan :
a. f(x) = 3x2 – 6x + 5 → f '(x) =6x – 6
Nilai stasioner diperoleh jikalau f '(x) = 0 sehingga :
f '(x) = 0
6x – 6 = 0
x = 1.
f(1) = 3.12 – 6. 1 + 5 = 2
Jadi, nilai stasioner f(x) = 3x2 – 6x + 5 yaitu f(1) = 2
b. f(x) = x3 + 4x2 – 3x + 2
f '(x) = 3x2 + 8x – 3
untuk f '(x) = 0
3x2 + 8x – 3 = 0
(3x – 1) (x + 3) = 0
x = 1/3 atau x = –3 ↔ f ' (1/3) = 0 dan f '(–3) = 0
sehingga untuk x = 1/3 diperoleh :
untuk x = –3 diperoleh f(–3) = (–3)3 + 4 (3)2 – 3.3 + 2 = 2
Jadi, nilai stasioner f(x) = x3 + 4x2 – 3x + 2 adalah f (1/3) = 
dan f(–3) = 2.
Titik 
dan (–3, 2) dinamakan titik stasioner.
Untuk memilih jenis stasioner, pelajari interval f '(x) di bawah.
Untuk mengetahui nilai f '(x) pada selang x < –3, –3 < x < 1/3, dan x > 1/3, substitusikan nilai x untuk selang interval tersebut pada f '(x) sehingga diperoleh
• untuk x = –4, f '(–4) = 13 > 0 sehingga f(x) naik untuk x < –3;
• untuk x = 0, f '(0) = –3 < 0 sehingga f(x) turun untuk interval –3 < x < 1/3;
• untuk x = 1, f '(1) = 8 > 0 sehingga f(x) naik untuk x > 1/3.
Jadi, nilai f '(x) sanggup digambarkan pada selang interval di atas.
Dari gambar untuk selang interval tersebut :
• titik (–3, 2) yaitu titik maksimum,
• titik adalah titik minimum.
2. Menentukan Nilai Stasioner Suatu Fungsi
Anda telah mempelajari cara memilih nilai stasioner dengan uji tanda turunan pertama. Misalkan, fungsi f(x) = x3 – 3x2 dengan f '(x) = 3x2 – 6x. Untuk f '(x) = 0 diperoleh titik-titik stasioner (0, 0) dan (2, –4), dengan (0, 0) dinamakan titik balik maksimum lokal, sedangkan (2, –4) dinamakan titik balik minimum lokal. Sekarang, pelajarilah cara memilih nilai stasioner suatu fungsi dan penerapannya memakai turunan kedua.
Dengan memakai turunan kedua jenis titik stasioner sanggup ditentukan sebagai berikut.
• Jika f "(c) < 0, f(c) yaitu nilai maksimum lokal fungsi f(x) dan titik (c, f(c)) yaitu titik balik maksimum lokal grafik fungsi f(x).
• Jika f "(c) > 0, f(c) yaitu nilai minimum lokal fungsi f(x) dan titik (c, f(c)) yaitu titik balik minimum lokal grafik fungsi f(x).
• Jika f "(c) = 0 atau tidak mempunyai turunan kedua, jenis nilai stasioner dilakukan dengan memakai uji turunan pertama.
Contoh Soal 2 :
Tentukan jenis nilai stasioner fungsi f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 1 dan f(x) = x4 – 4x3 dengan memakai uji turunan kedua.
Penyelesaian :
• Untuk fungsi f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 1
f "(x) = 6x – 12
Nilai stasioner diperoleh untuk f '(x) = 0, yaitu :
3(x – 1) (x – 3) = 0
x = 1 atau x = 3
Nilai stasionernya yaitu x = 1 atau x = 3 untuk x = 1, f "(1) = –6 < 0, sedangkan untuk x = 3, f "(3) = 6 > 0 sehingga :
f(1) yaitu nilai maksimum lokal fungsi f(x), yaitu f(1) = 5
f(3) yaitu nilai minimum lokal fungsi f(x), yaitu f(3) = 1
• Untuk fungsi f(x) = f(x) = x4 – 4x3
f '(x) = 4x3 – 12x2 = 4x2 (x – 3)
f "(x) = 12x2 – 24x Nilai stasioner diperoleh untuk f '(x) = 0, yaitu x = 0 atau x = 3 untuk x = 0, f "(0) = 0 dan untuk x = 3, f "(3) = 36 > 0 sehingga :
f(3) yaitu nilai minimum lokal fungsi f(x), yaitu f(3) = –27.
Untuk x = 0 dengan f "(0) = 0 jenis nilai stasioner ditentukan dengan uji turunan pertama.
Sekarang, amati diagram di bawah ini.
Amati f "(x) > 0 untuk x < 0, dikatakan f cekung ke atas pada x < 0, f "(x) < 0 untuk 0 < x < 2, dikatakan f cekung ke bawah pada 0 < x < 2, dan f "(x) > 0 pada x > 2, dikatakan f cekung ke atas pada x > 2.
Di sekitar x = 0 (titik (0, 0)) terjadi perubahan kecekungan dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah sehingga titik (0, 0) merupakan titik belok grafik fungsi f. Apakah titik (2, 0) merupakan titik belok? Bagaimana dengan titik (3, 0)?
Dari tumpuan tersebut dapatkah Anda mengira cara memilih nilai stasioner suatu fungsi? Cobalah nyatakan dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajari tersebut membawa kita pada definisi berikut.
Definisi 2 :
f cekung ke atas pada [a, b] jikalau f "(x) > 0 dan f cekung ke bawah jikalau f "(x) < 0. Perubahan kecekungan disebut titik belok.
Anda kini sudah mengetahui Nilai Stasioner Fungsi. Terima kasih anda sudah berkunjung ke Perpustakaan Cyber.
Referensi :
Djumanta, W. 2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah. Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, Jakarta. p. 250.
No comments:
Post a Comment