Pintar Pelajaran Pola Soal Fungsi Naik Dan Fungsi Turun, Maksimum Minimum, Rumus, Pembahasan, Pengertian, Persamaan, Matematika

Contoh Soal Fungsi Naik dan Fungsi Turun, Maksimum Minimum, Rumus, Pembahasan, Pengertian, Persamaan, Matematika - Pelajarilah materi berikut ini :

A. Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Diketahui, sebuah peluru ditembakkan ke atas dan lintasannya digambarkan sebagai kurva dari fungsi y = f(x), menyerupai pada Gambar 1.

Gambar 1. kurva dari fungsi y = f(x).

Peluru bergerak naik dari titik A ke titik B, kemudian bergerak turun dari titik B ke titik C. Dikatakan f disebut naik dalam daerah D_f = { x| a ≤ x ≤ b} lantaran semakin besar nilai x mengakibatkan nilai fungsi f semakin bertambah besar. Fungsi f disebut turun dalam daerah D_f = { x| b ≤ x ≤ c} lantaran semakin besar nilai x mengakibatkan nilai fungsi f semakin kecil.

Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan suatu fungsi f disebut monoton naik dan suatu fungsi f disebut monoton turun?

Gambar 2. Fungsi f disebut monoton naik dan suatu fungsi f disebut monoton turun.

Cobalah nyatakan dengan kata-kata Anda sendiri.

Definisi 1 :

Misalkan f terdefinisi pada selang I. Kita katakan bahwa:

• f monoton naik pada I jikalau untuk setiap pasangan bilangan a dan b dalam I, a < b menimbulkan f(a) < f(b);

• f monoton turun pada I jikalau untuk setiap pasangan bilangan a dan b dalam I, a < b mengakibatkan f(a) > f(b).

Sekarang amati Gambar 3.

Gambar 3. Titik P ialah titik sebarang pada grafik.

Titik P₁ adalah titik sebarang pada grafik yang terletak pada selang (0, a), titik P₂ adalah titik sebarang pada grafik yang terletak pada selang (a, b) dan titik P₃ adalah titik sebarang pada grafik yang terletak pada selang (b, c). Apabila Anda menciptakan garis singgung di P₁, P₂, dan P₃ yang diberi nama g₁, g₂, dan g₃ seperti pada Gambar 4. maka garis singgung g₁ memiliki gradien positif (condong ke kanan), garis singgung g₂ memiliki gradien negatif (condong ke kiri), dan garis singgung g₃ memiliki gradien positif (condong ke kanan).

Gambar 4. Garis singgung yang mempunyai gradien positif dan negatif.

Coba Anda jelaskan dengan kata-kata Anda sendiri, mengapa g₁ memiliki gradien positif, g₂ memiliki gradien negatif, dan g₃ memiliki gradien positif.

Gradien garis singgung di suatu titik pada grafik sanggup ditentukan dengan turunan fungsi. Untuk fungsi naik dan fungsi turun memenuhi teorema berikut. Misalkan, fungsi f sanggup diturunkan pada selang terbuka (a, b).

• Jika f '(x) > 0 untuk setiap x dalam selang (a, b) maka fungsi f naik pada selang (a, b).

• Jika f '(x) < 0 untuk setiap x dalam selang (a, b) maka fungsi f turun pada selang (a, b).

Contoh Soal 1 :

Periksa naik atau turunnya fungsi-fungsi berikut.

1. f(x) = –x² pada selang (0,1)

2. f(x) = 10x – x² pada selang (0,10)

Pembahasan :

1. f(x) = – x² maka f '(x) = –2x.

Misalkan, p anggota (0, 1) sehingga 0 < p < 1.

f '(p) = –2p < 0 untuk p > 0 sehingga f(x) = x² pada selang (0, 1) merupakan fungsi turun.

2. f(x) = 10x – x² maka f '(x) = 10 – 2x.

Misalkan, p anggota (0, 10) sehingga 0 < p < 10.

f '(p) = 10 – 2p > 0 untuk p < 5 dan f '(p) = 10 – 2p < 0 untuk p > 5. 

Dengan demikian, f(x) = 10x – x² pada selang (0, 10) merupakan fungsi naik dan fungsi turun.

Contoh Soal 2 :

Periksa naik atau turunnya fungsi f(x) = cos x pada selang-selang berikut.

a. 

b. 

Penyelesaian :

f(x) = cos x maka f '(x) = – sin x.

a. f(x) = cos x pada selang 

Misalkan, p ialah anggota  sehingga 0 < p < .

f '(p) = –sin p < 0 untuk 0 < p <  sehingga f(x) = cos x pada selang  merupakan fungsi turun.

b. f(x) = cos x pada selang 

Misalkan, p anggota  sehingga π < p <  π.

f '(p) = –sin p > 0 untuk π < p <  sehingga f(x) = cos x pada selang  merupakan fungsi naik.

Contoh Soal 3 :

Tentukan pada interval (0, 2π) di mana tempat fungsi f(x) = cos (x + π) merupakan fungsi naik atau fungsi turun.

Jawaban :

f(x) = cos ( x + π), maka f '(x) = –sin (x + π).

• Agar fungsi f(x) = cos (x + π) merupakan fungsi naik maka f '(x) > 0 sehingga –sin (x + π) > 0. Untuk menuntaskan pertidaksamaan ini, gunakan diagram tanda melalui tahapan berikut: 

–sin (x + π) = 0

–sin (x + π) = sin 0 ↔ x + π = 0 ± k 2π, k bilangan bulat

x = –π ± k 2π

Oleh lantaran x ↔ (0, 2π) maka nilai x yang memenuhi adalah x₁ = π sehingga diperoleh diagram tanda berikut.

Dari diagram tanda tersebut interval yang menghasilkan –sin (x + π) > 0 ialah 0 < x < π.

Gambar 5. f(x) = cos (x + π) merupakan fungsi naik pada interval 0 < x < π.

Jadi, f(x) = cos (x + π) merupakan fungsi naik pada interval 0 < x < π, menyerupai diperlihatkan pada Gambar 5.

• Fungsi f(x) = cos(x+ π) merupakan fungsi turun, jikalau f '(x) < 0 sehingga f '(x) = –sin (x + π) < 0.

Dengan memakai diagram tanda, interval yang menghasilkan –sin(x + π) < 0 ialah π < x < 2.

Jadi, f(x) = cos (x + π) merupakan fungsi turun pada interval π < x < 2π, menyerupai diperlihatkan pada Gambar 8.9.

B. Maksimum dan Minimum Fungsi

Anda telah mempelajari fungsi kuadrat dan grafiknya di Kelas IX. Pada pembahasan mengenai hal tersebut, Anda telah sanggup memilih titik ekstrim maksimum atau titik ekstrim minimum dari fungsi kuadrat melalui proses aljabar bilangan real. Perlu diketahui bahwa proses tersebut tidak sanggup dikembangkan untuk memilih titik ekstrim fungsi-fungsi yang lebih rumit. Ternyata dengan memakai turunan Anda sanggup memilih titik ekstrim segala jenis fungsi yang sanggup diturunkan bahkan juga yang kontinu.

Agar lebih jelasnya, amati uraian berikut.

Gambar 6.  grafik y = f(x) = x² – 2.

Gambar 6. mengatakan grafik y = f(x) = x² – 2. Anda mungkin memahami bahwa fungsi y = f(x) = x² – 2 mempunyai nilai minimum pada x = 0 lantaran f(x) = f(0) = 0² – 2 = –2. Turunan fungsi f(x) = x² – 2 ialah f '(x) = 2x.

Anda sanggup menyidik bahwa f '(x) < 0 untuk x < 0 dan f '(x) > 0 untuk x > 0 serta f '(0) = 0 pada x = 0. Oleh lantaran itu, f(x) turun untuk x < 0 dan f (x) naik untuk x > 0. Bagaimana dengan fungsi di x = 0, apakah naik atau turun? Fungsi f(x) di x = 0 tidak turun atau naik, titik ini disebut titik stasioner.

Definisi 2 :

Jika fungsi f mencapai titik ekstrim pada (a, f(a)) dan terdiferensialkan pada titik itu maka titik (a, f(a)) merupakan titik stasioner atau f '(x) = 0.

Jika Anda amati grafik y = f(x) = x² – 2, tampak adanya perubahan kemonotonan di sekitar x = 0 dari turun menjadi naik.

Adanya perubahan kemonotonan dari turun menjadi naik mengakibatkan adanya titik minimum sebagai tempat terjadinya perubahan kemonotonan itu sehingga pada titik x = 0 fungsi bernilai minimum, yaitu f(x) = f(0) = –2.

Sekarang, selidiki grafik y = f(x) = 2 – x² pada Gambar 7.

Gambar 7. Grafik y = f(x) = 2 – x²

Praktis diselidiki bahwa fungsi y = f(x) = 2 – x² mempunyai nilai maksimum pada x = 0 lantaran f(0) = 2 – 0² = 2. Turunan fungsi f(x) = 2 – x² adalah f '(x) = –2x. Anda sanggup menyidik bahwa f '(x) > 0 untuk x < 0 dan f '(x) < 0 untuk x > 0 serta f '(0) = 0 pada x = 0. Oleh lantaran itu, f(x) naik untuk x < 0, f(x) turun untuk x > 0, dan x = 0 ialah titik stasioner. Jika Anda amati grafik y = f(x) = 2 – x² , tampak adanya perubahan kemonotonan di sekitar x = 0 dari naik menjadi turun.

Adanya perubahan kemonotonan dari naik menjadi turun mengakibatkan adanya titik maksimum sebagai tempat terjadinya perubahan kemonotonan itu sehingga pada titik x = 0 fungsi bernilai maksimum, yaitu f(x) = f(0) = 2. Pembahasan dilanjutkan wacana maksimum dan minimum dengan menyidik fungsi f(x) = x³ dan f(x) = |x|. Kedua grafik tersebut diperlihatkan pada Gambar 8.

Gambar 8. Maksimum dan minimum fungsi dengan menyidik fungsi f(x) = x³ dan f(x) = |x|

• Turunan pertama fungsi f(x) = x³ adalah f '(x) = 3x² . Anda sanggup menyidik bahwa f '(x) > 0 untuk x 0 dan f '(x) = 0 pada x = 0. Oleh lantaran itu, f(x) naik untuk x < 0 atau x > 0 dan x = 0 ialah titik stasioner. Akibatnya, titik stasioner bukan merupakan titik ekstrim (maksimum atau minimum). Anda sanggup mengamati dari Gambar 8(a) bahwa grafik y = x³ selalu naik di sekitar x = 0.

• Pada gambar 8(b), f(x) = |x| = 

sehingga f '(x) = –1 < 0 untuk x < 0 dan f '(x) = 1 > 0 untuk x > 0. Adapun untuk memilih f '(0) dipakai konsep limit, yaitu sebagai berikut.

Dari Bab wacana pengertian limit telah diterangkan bahwa limit fungsi tersebut tidak ada.

Jadi, f '(0) tidak ada atau f tidak terdiferensialkan. Oleh lantaran itu, f(x) turun untuk x < 0, f(x) naik untuk x > 0, dan x = 0 bukan merupakan titik stasioner sehingga pada x = 0 fungsi bernilai minimum. Sekarang amati Gambar 9.

Gambar 9. Grafik nilai maksimum fungsi f(x) ialah f(b) dan nilai minimum fungsi f(x) ialah f(a) dan x = a.

Diketahui, fungsi f(x) terdefinisi pada interval a ≤ x ≤ d serta f '(b) = f '(c) = 0.

Dari Gambar 9. diperoleh uraian berikut.

a. Untuk D_f = [ a, p] atau D_f = { x | a < x < p},

• nilai maksimum fungsi f(x) ialah f(b) sehingga

x = b mengakibatkan f '(b) = 0;

• nilai minimum fungsi f(x) ialah f(a) dan x = a merupakan titik ujung kiri interval Df .

Nilai f(b) > f(x) untuk x anggota D_f = [ a, p] sehingga f(b) dinamakan nilai maksimum mutlak atau nilai maksimum global. Oleh lantaran f(a) < f(x) untuk x anggota D_f = [ a, p] maka f(a) disebut nilai minimum mutlak atau nilai minimum global.

b. Untuk D_f = [ p, d] atau D_f = { x | p ≤ x ≤ d},

• nilai maksimum fungsi f(x) ialah f(d) dan x = d merupakan titik ujung kanan interval D_f ; 

• nilai minimum fungsi f(x) sama dengan f(c) dan x = c mengakibatkan f '(x) = 0.

Untuk D_f = [ p, d] nilai maksimum dan minimum fungsi f(x) merupakan nilai maksimum dan minimum global.

c. Untuk D_f = [ a, d] atau D_f = { x | a ≤ x ≤ d},

• nilai balik maksimum f(b) bukan merupakan nilai maksimum fungsi f(x), tetapi dinamakan nilai maksimum lokal atau maksimum relatif;

• nilai balik minimum f(c) bukan merupakan nilai minimum fungsi f(x) akan tetapi dinamakan nilai minimum lokal atau minimum relatif.

Untuk memilih nilai minimum atau maksimum fungsi f(x) dalam interval tertutup, terlebih dahulu ditentukan nilai f(x) untuk nilai x sebagai titik ujung interval domain fungsi f(x) dan nilai x yang mengakibatkan f '(x) = 0. Kemudian, bandingkan nilai-nilai tersebut.

Contoh Soal 4 :

Tentukan nilai maksimum dan minimum f(x) = 2x² – x, untuk:

a. D_f = { x | –1 ≤ x ≤ 2},

b. D_f = { x | –6 ≤ x ≤ –4}.

Jawaban :

f(x) = 2x² – x ↔ f '(x) = 4x – 1

4x – 1 = 0 ↔ x = ¼.

a. x = 1/4 anggota D_f = { x | 1 ≤ x ≤ 2} ....(1)

f(–1) = 2 (–1)² – 1 = 1 ....(2)

f(2) = 2 (2)² – 2 = 6 ....(3)

Dari (1), (2), dan (3), diperoleh f(2) = 6 ialah nilai maksimum dan f (¼) = - 1/8 merupakan nilai minimum fungsi f(x) = 2x² – x

dengan :

D_f = { x | –1 ≤ x ≤ 2}.

b. x = .... bukan anggota D_f = { x | –6 ≤ x ≤ –4}

f(–6) = 2 (–6)² – (–6) = 78

f(–4) = 2(–4)² – (–4) = 36

Jadi, fungsi f(x) = 2x² – x dengan D_f = { x | –6 ≤ x ≤ –4} mempunyai nilai maksimum f(–6) = 78 dan nilai minimum f(–4) = 36.

Contoh Soal 5 :

Selembar aluminium akan dibentuk silinder tanpa tutup dengan volume 8.000π cm³ . Tentukan tinggi dan jari-jari ganjal silinder supaya aluminium yang dipakai seminimal mungkin.

Pembahasan :

Gambar 10. (a) Selembar aluminium. (b) Silinder yang akan dibuat.

Diketahui: Volume silinder tanpa tutup yang dibentuk 8.000π cm³ .

Ditanyakan: Tinggi dan jari-jari ganjal silinder supaya luas aluminium minimal.

Penyelesaian :

Misalkan, volume silinder = V (r), tinggi silinder = t, jari-jari ganjal silinder = r, dan luas permukaan silinder = L (r).

V (r) = luas ganjal × tinggi = π r² × t = 8.000π

sehingga,

t =  ....(1)

L (r) = luas ganjal + luas selubung = π r² + 2πrt ....(2)

Substitusikan (1) ke (2) sehingga diperoleh :

L (r)= π r² - 2πr  = π r² - 2πrt

Nilai stasioner L (r) diperoleh jikalau nilai L' (r) = 0 sehingga :

....(3)

Substitusikan (3) ke (1) sehingga diperoleh :

Jadi, tinggi silinder t = 20 cm dan jari-jari ganjal r = 20 cm.

Contoh Soal 6 :

Jumlah materi bakar solar selama satu tahun yang diharapkan oleh suatu kendaraan yang bergerak dengan kecepatan v km/jam memenuhi persamaan :

Q(v) = - 1/65 v² + 2v + 2.500 liter

Tentukan jumlah maksimum solar yang diharapkan dalam empat tahun.

Pembahasan :

Nilai stasioner Q(v) diperoleh jikalau Q'(v) = 0 sehingga :

Q’(x) = - 2/65 v + 2 = 0 ↔ - 2/65 v = 2 ↔ v = 65

Jumlah maksimum solar yang diharapkan selama satu tahun ialah :

Q(65) = -1/65 (65)² + 2(65) + 2.500 = 2.565 liter

Jumlah maksimum solar yang diharapkan empat tahun ialah :

4 × 2.565 = 10.260 liter.

Anda kini sudah mengetahui Fungsi Naik dan Fungsi Turun. Terima kasih anda sudah berkunjung ke Perpustakaan Cyber.

Referensi :

Djumanta, W. 2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah. Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, Jakarta. p. 250.