Pintar Pelajaran Rumus Teladan Soal Trigonometri Sma, Matematika, Sin Cos Tan Α Β, Sudut Ganda, Jumlah Dan Selisih, Cara Memilih Dan Menghitung

Rumus Contoh Soal Trigonometri SMA, Matematika, Sin Cos Tan α β, Sudut Ganda, Jumlah dan Selisih, Cara Menentukan dan Menghitung - Pada kepingan ini, bahan itu akan dikembangkan hingga ke rumus trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut. Lebih lanjut, pada kepingan ini akan dibahas mengenai rumus trigonometri untuk sudut rangkap. Konsep-konsep trigonometri yang akan dibahas di kepingan ini sangat penting peranannya dalam ilmu pengetahuan dan teknologi, contohnya dalam menjawab permasalahan berikut.

Sebuah roket yang ditembakkan ke atas membentuk sudut θ terhadap arah horizontal. Berapakah besar sudut θ semoga roket mencapai jarak maksimum? Agar Anda sanggup menjawab permasalahan tersebut, pelajari kepingan ini dengan baik.

1. Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut

1.1. Rumus untuk Cos (α ± β)

Amati gambar Gambar 1. dengan saksama.

Gambar 1. Lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari r.

Gambar 1. memperlihatkan bundar yang berpusat di O dan berjari-jari r. Amati lagi gambar tersebut dengan saksama. Dari gambar tersebut, diperoleh  :

OC=OB=OD=OA = r 

dan koordinat titik A, titik B, titik C, dan titik D, yaitu:

A(r, 0), B(r cos α, r sin α), C(r cos(α + β), r sin(α + β)), dan D(r cos β, –r sin β).

Dengan memakai rumus jarak antara dua titik, diperoleh :

d²_AB = (AB)² = (x_A -  x_B)² + (y_A - y_B)

sehingga Anda sanggup menentukan (AC)² dan (DB)², yaitu :

a. (AC)² = [r cos (α + β) – r]² + [r sin (α + β) – 0]²

(AC)² = r² cos² (α + β) – 2r²cos (α + β) + r² + r² sin² (α + β)

(AC)² = r² [cos2 (α + β) + sin² (α + β)] + r² – 2r² cos (α + β)

(AC)² = r². 1 + r² – 2r² cos (α + β) = 2r² – 2r² cos (α + β)

Jadi, (AC)² = 2r² – 2r² cos (α + β)

b. (DB)² = (r cos α – r cos β)² + (r sin α + r sin β)²

(DB)² = r² cos² α – 2r² cos α cos β + r² cos² β + r² sin² α + 2 r² sin α sin β + r² sin² β

(DB)² = r² (cos² α + sin² α) + r² (cos² β + sin² β ) – 2r² cos α cos β + 2r² sin α sin β

(DB)² = r² + r² – 2r² cos α cos β + 2r² sin α sin β

(DB)² = 2r² – 2r² cos α cos β + 2r² sin α sin β

Jadi, (DB)² = 2r² – 2r² cosα cos β + 2r² sinα sin β

ΔOCA kongruen dengan ΔOBD sehingga AC = DB. 

Coba Anda kemukakan alasan mengapa ΔOCA kongruen ΔOBD.

Jadi, AC² = DB².

2r² – 2r² cos (α + β) = 2r² – 2r² cos α cos β + 2r² sin α sin β

–2r² cos (α + β) = –2r² cos α cos β + 2r² sin α sin β

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

Rumus untuk cos(α – β) sanggup diturunkan dari rumus cos (α + β), yaitu :

cos(α – β)= cos (α + (–β))

= cos α cos(–β) – sin α sin(–β)

= cos α cos β + sin α sin β

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

Contoh Soal 1

a. Hitunglah cos 75°.

b. Buktikan : 

Jawaban 1

a. cos 75° = cos (45° + 30°) = cos 45° cos 30° – sin 45° sin 30°

Contoh Soal 2 : (Ebtanas 1998)

Diketahui cos(A – B) = 3/5 cos A . cos B = 7/25. Tentukan nilai tan A . tan B

Penyelesaian 2

1.2. Rumus untuk sin (α ± β)

Anda tentu masih ingat pelajaran di Kelas X wacana sudut komplemen. Anda sanggup memilih rumus sin (α + β) dengan memakai rumus perbandingan trigonometri dua sudut pemanis berikut.

cos (90° – α) = sin α dan sin (90°– α) = cos α

Dengan memakai rumus perbandingan trigonometri dua sudut komplemen, diperoleh :

sin (α + β) = cos [90° – (α + β)]

= cos [(90° – α) – β]

= cos (90° – α) cos β + sin (90° – α) sin β

= sin α . cos β + cos α . sin β

sehingga sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

Rumus sin (α – β) sanggup diperoleh dari rumus sin (α + β), yaitu :

sin (α – β) = sin (α + (–β))

= sin α cos (–β) + cos α sin (–β)

= sin α . cos β – cos α . sin β

Jadi, sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

Sekarang, coba jelaskan dengan kata-kata Anda sendiri rumus-rumus yang diberi kotak.

Contoh Soal 3

a. Hitunglah sin 15°.

b. Hitunglah sin 

Penyelesaian 3

a. sin 15° = sin (45°–30°) = sin 45° cos 30° – cos 45° sin 30°

b. Soal tersebut bentuknya sama dengan rumus sin α cos β + cos α sin β = sin (α + β) dengan :

Dapatkah Anda mengerjakan dengan cara lain? Silakan coba.

1.3. Rumus untuk tan (α ± β)

Anda telah mempelajari bahwa :

tanα = sinα / cosα 

Kemudian, Anda juga telah mempelajari bahwa :

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

dan,

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

Sekarang, pelajari uraian berikut.

Jadi,

Rumus tan(α – β) diperoleh dari rumus tan(α + β), sebagai berikut:

Jadi,

Contoh Soal 4

a. Jika tan 5° = p, tentukan tan 50°.

b. Dalam segitiga lancip ABC, diketahui sinC =  Jika tan A tan B = 13 maka tentukan tan A + tan B.

Pembahasan 4

2. Langkah ke-1

Tuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan dari soal tersebut.

Diketahui: 

• sinC = 

• tan A tan B = 13

• ΔABC lancip.

Ditanyakan: Nilai (tan A + tan B).

Langkah ke-2

Menentukan konsep yang akan dipakai dalam menjawab soal. Pada soal ini, konsep yang dipakai yaitu konsep sudut dalam suatu segitiga dan rumus trigonometri untuk jumlah dua sudut.

Langkah ke-3

Menentukan nilai (tan A + tan B) dengan taktik yang telah diketahui. Sudut-sudut dalam ΔABC berjumlah 180° sehingga :

A + B + C = 180°.

A + B + C = 180°

C = 180° – (A + B)

sinC . sin(A + B) = 

Karena ΔABC lancip maka (A + B) terletak di kuadran II.

2. Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda

2.1. Rumus untuk sin 2α

Anda telah mengetahui bahwa :

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β.

Untuk β = α, diperoleh :

sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α

sin 2 α = 2 sin α cos α

Jadi, 

sin 2α = 2 sin α cos α

2.2. Rumus untuk cos 2α

Anda juga telah mempelajari bahwa :

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β.

Untuk β = α, diperoleh :

cos (α + α) = cos α cos α – sin α sin α

cos 2α = cos2α – sin2α

Jadi, 

cos 2α = cos2α – sin2α

Untuk rumus cos2α sanggup juga ditulis :

cos 2α = cos2α – sin2α

cos 2α = (1 – sin2α) – sin2α

cos 2α = 1 – 2 sin2α

Jadi, 

cos 2α = 1 – 2 sin2α

Sekarang, coba Anda tunjukkan bahwa :

cos 2α = 2 cos2α – 1

2.3. Rumus untuk tan 2α

Dari rumus :

Untuk β = α diperoleh :

Jadi,

Contoh Soal 5

a. Jika sin A = 6/10, dengan 0 < A < 1/2 π, tentukan sin 2A, cos 2A, dan tan 2A.

b. Buktikan bahwa :

Kunci Jawaban 5

a. Amati Gambar di atas. Dengan memakai teorema Pythagoras, diperoleh :

Contoh Soal 6

Sebuah meriam yang ditembakkan ke atas membentuk sudut θ terhadap arah horizontal (perhatikan Gambar 3.4). Diketahui kecepatan awal peluru meriam v0 m/s dan jarak R yang ditempuh peluru meriam memenuhi persamaan R = 1/16 V₀ sinθ cosθ.

Penyelesaian 6

a. Tunjukkan bahwa R = 1/32 V₀ sinθ cosθ.

b. Carilah sudut θ yang menawarkan R maksimum.

Jawab:

a. Langkah ke-1

Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan dari soal.

Diketahui:

• Kecepatan awal peluru meriam = V₀ m/s.

• Jarak yang ditempuh peluru meriam = R.

Ditanyakan :

Menunjukkan R = 1/32 V₀ sinθ cosθ.

Langkah ke-2

Menentukan konsep apa yang dipakai untuk menuntaskan soal. Pada soal ini, konsep yang dipakai yaitu rumus trigonometri untuk sudut ganda.

Langkah ke-3

Menunjukkan R = 1/32 V₀ sinθcosθ.

memakai taktik yang telah diketahui.

Anda telah mengetahui sin 2θ = 2 sinθ cosθ sehingga :

b. Untuk kecepatan awal V₀, sudut θ terhadap arah horizontal mensugesti nilai R. Oleh sebab fungsi sinus mempunyai nilai maksimum 1, R akan maksimum dikala :

2θ = 90° ↔ θ = 45°

3. Identitas Trigonometri

Anda kini sudah mengetahui Trigonometri. Terima kasih anda sudah berkunjung ke Perpustakaan Cyber.

Referensi :

Djumanta, W. 2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah. Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, Jakarta. p. 250.