Contoh Soal Peluang Kejadian Majemuk Matematika Statistika, Rumus, Teori, Pengertian, Jawaban, Konsep, Komplemen, Gabungan, Saling Lepas Bebas - Misalkan, pada sebuah kotak terdapat 2 bola merah dan 3 bola hijau. Dari kotak tersebut, Anda akan mengambil 1 buah bola merah dan 1 buah bola hijau. Kejadian terambilnya 1 buah bola merah dan 1 buah bola hijau dinamakan kejadian majemuk.
1. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Diketahui, A yaitu kejadian pada sebuah ruang sampel, sedangkan A’ yaitu kejadian bukan A yang juga terdapat pada ruang sampel tersebut. Kejadian bukan A atau A’ dinamakan juga suplemen kejadian A. Peluang kejadian A dilambangkan dengan P(A), dan peluang suplemen kejadian bukan A dilambangkan dengan P(bukan A) atau P(A’).
 |
| Gambar 1. diagram Venn ruang sampel yang terdiri atas kejadian A dan kejadian bukan A. |
Amati diagram Venn pada Gambar 1. Gambar 1. mengatakan ruang sampel yang terdiri atas kejadian A dan kejadian bukan A. Peluang ruang sampel sama dengan 1 sehingga :
P (A) + P (bukan A) = 1
atau,
P (bukan A) = 1 – P (A)
Contoh Soal 1
Tentukan peluang suplemen dari peluang berikut.
a. Peluang kereta tiba terlambat yaitu 0,03.
b. Peluang Indra meraih juara kelas yaitu 0,25.
Jawaban 1
a. Komplemen kejadian kereta api tiba terlambat yaitu kejadian kereta api tiba sempurna waktu. Peluang kereta api tiba sempurna waktu yaitu (1 – 0,03) = 0,97.
2. Peluang Gabungan Dua Kejadian yang Saling Lepas
Sebuah dadu seimbang dilempar ke atas. Misalkan, A yaitu kejadian (kejadian) muncul dadu bermata ganjil dan B yaitu kejadian muncul mata dadu genap. Kejadian A dan B merupakan kejadian saling lepas alasannya yaitu irisan dari dua kejadian tersebut yaitu himpunan kosong.
Diketahui, himpunan A melambangkan kejadian A dan himpunan B melambangkan kejadian B. Apabila P(A) dan P(B) setiap peluang kejadian A dan kejadian B yang saling lepas, peluang adonan 2 kejadian tersebut yang dinyatakan oleh P(A ∪ B) yaitu P(A) + P(B) – P(A ∩ B). Oleh lantaran A ∩ B = Ø maka tentunya P(A ∩ B) = 0 sehingga P(A ∩ B) = P(A) + P(B)
Artinya, pada dua kejadian A dan kejadian B yang saling lepas, peluang terjadinya kejadian A atau kejadian B yaitu penjumlahan peluang dua kejadian tersebut.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Artinya, pada dua kejadian A dan kejadian B yang saling lepas, peluang terjadinya kejadian A atau kejadian B yaitu penjumlahan peluang dua kejadian tersebut.
Ingatlah :
A dan B saling lepas
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
A dan B tidak saling lepas
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Contoh Soal 2
Pada percobaan mengocok sebuah kartu remi, misalkan Ingatlah kejadian A yaitu muncul kartu berwarna merah dan kejadian B yaitu kejadian muncul kartu berwarna hitam. Apakah kejadian A dan B saling lepas?
Pembahasan 2
Pada kartu remi terdapat 52 kartu. Banyak kartu merah dan hitam masing-masing 26 kartu. Muncul kartu merah terlepas dari muncul kartu hitam. Jadi, kejadian A dan B saling lepas.
Contoh Soal 3
Pada percobaan melempar sebuah dadu dan satu keping uang logam, tentukan peluang munculnya:
a. mata dadu < 3 atau angka;
b. mata dadu prima genap atau gambar;
Jawaban 3
a. Ruang sampel pelemparan dadu = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Misalkan, A = kejadian muncul dadu < 3 sehingga : P(A) = 2/6 = 1/3
Ruang sampel pelemparan satu keping uang logam = {A, G}.
Misalkan, B = kejadian muncul angka sehingga : P(B) = ½
b. A = kejadian muncul mata dadu prima genap sehingga : P(A) = 1/6
B = kejadian muncul gambar sehingga P(B) = ½.
Contoh Soal 4
Dua puluh buah kartu diberi nomor 1 hingga 20. Kemudian, dikocok dan diambil secara acak. Tentukanlah peluang dari:
a. kartu yang terambil nomor bilangan genap atau nomor 6;
b. kartu yang terambil nomor bilangan ganjil atau nomor 15;
Penyelesaian 4
a. • Peluang terambil kartu nomor bilangan genap yaitu P(genap) = 10/20.
• Peluang terambil kartu nomor bilangan kelipatan 6 yaitu :
P(kelipatan 6) = 3/20.
Jadi, peluang terambil kartu nomor bilangan genap atau nomor bilangan kelipatan 6 yaitu :
P(genap atau kelipatan 6) = P(genap) + P(kelipatan 6) = (10/20) + (3/20) = 13/20
b. • Peluang terambil kartu nomor bilangan ganjil yaitu :
P(ganjil) = 10/20.
• Peluang terambil kartu nomor 15 yaitu P(15) = 1/20.
Jadi, peluang terambil kartu nomor bilangan ganjil atau nomor 15 yaitu :
P(ganjil atau 15) = P(ganjil) + P(15) = (10/20) + (3/20) = 13/20.
Contoh Soal 5
Suatu kelas terdiri atas 40 siswa, 25 siswa gemar matematika, 21 siswa gemar IPA, dan 9 siswa gemar matematika dan IPA. Peluang seorang tidak gemar matematika maupun IPA yaitu ....
Jawaban 5
n(S) = 40; n(M) = 25; n(I) = 21;
n(M ∩ I) = 9
n(M ∪ I) = n(M) + n(I) – n(M ∩ I)
= 25 + 21 – 9 = 37
3. Peluang Dua Kejadian yang Saling Bebas
3.1. Kejadian Melempar Dua Mata Uang secara Bersamaan
Dalam pelemparan dua keping uang logam secara serempak, apabila G1 adalah kejadian muncul permukaan gambar pada pengetosan mata uang pertama maka kejadian muncul permukaan gambar ataupun permukaan angka pada mata uang kedua tidak dipengaruhi oleh G1. Begitu pula apabila A1 menyatakan kejadian muncul permukaan angka pada mata uang pertama maka muncul permukaan gambar ataupun permukaan angka pada mata uang kedua tidak akan dipengaruhi oleh A1.
Kejadian pelemparan dua mata uang secara bersamaan dinamakan dua kejadian yang saling bebas.
Misalkan, G2 adalah kejadian muncul permukaan gambar pada mata uang kedua dan A2 adalah kejadian muncul permukaan angka pada mata uang kedua sehingga ruang sampel untuk pelemparan dua buah mata uang logam yaitu :
{(A1, A2), (A1, G2), (G1, A2), (G1, G2)}
Peluang muncul permukaan gambar pada mata uang pertama sama dengan peluang muncul permukaan gambar pada mata uang kedua sehingga :
P (G1) = P (G2) = ½
Peluang munculnya permukaan angka pada mata uang pertama sama dengan peluang munculnya permukaan angka pada mata uang kedua sehingga :
P (A1) = P (A2) = ½
Peluang munculnya A1 dan munculnya A2
= P(A1 dan A2) = P (A1 ∩ A2)
= P(A1) × P(A2)
= (½) x (½) = 1/4 Jadi,
P(A1 dan A2) = P(A1) × P(A2) = ¼
Dengan cara yang sama, coba Anda tunjukkan:
P(A1 dan G2) = P(A1) × P(G2) = ¼
P(G1 dan A2) = P(G1) × P(A2) = ¼
3.2. Kejadian Mengambil Bola dari Dalam Sebuah Tas
Sebuah kotak berisi 5 bola hijau dan 7 bola biru. Anda ingin mengambil dua bola secara bergantian dengan pengembalian. Misalkan, pada pengambilan pertama diperoleh bola hijau, lalu bola itu dikembalikan lagi ke dalam kotak. Pada pengambilan kedua diperoleh bola biru. Kedua kejadian pengambilan bola tersebut dinamakan dua kejadian yang saling bebas stokastik lantaran pengambilan bola pertama tidak menghipnotis pengambilan bola kedua. Ruang sampel kejadian pengambilan bola tersebut yaitu sebagai berikut.
• Pengambilan bola pertama, ruang sampelnya: {hijau, biru} P(hijau) = 5/12 dan P(biru) = 7/12.
• Pengambilan kedua (dengan pengembalian), ruang sampelnya: {(hijau dan hijau), (hijau dan biru), (biru dan hijau), (biru dan biru)}.
P(hijau dan hijau) = P(hijau) × P(hijau) = (5/12) x (5/12) = 22/144
P(hijau dan biru) = P(hijau) × P(biru) = (5/12) x (7/12) = 35/144
P(biru dan hijau) = P(biru) × P(hijau) = (7/12) x (5/12) = 35/144
P(biru dan biru) = P(biru) × P(biru) = (7/12) x (7/12) = 49/144
Uraian yang telah anda pelajari tersebut memperjelas rumus berikut :
Jika dua kejadian A dan B saling bebas stokastik maka peluang terjadinya kedua kejadian tersebut secara bersamaan, yang dinyatakan oleh P (A ∩ B) yaitu :
P(A ∩ B)=P(A) x P(B)
Ingatlah :
Dua kejadian yang saling bergantung dinamakan juga dengan kejadian bersyarat.
Contoh Soal 6
Sebuah kotak berisi 11 bola yang diberi nomor 1 hingga 11. Dua bola diambil dari kotak secara bergantian dengan pengembalian. Tentukanlah peluang terambil bola-bola tersebut bernomor bilangan :
a. kelipatan 4 dan nomor 9;
b. ganjil dan genap.
Penyelesaian 6
a. Peluang terambil bola bernomor kelipatan 4 yaitu :
P (kelipatan 4) = 2/14 , peluang bola bernomor 9 yaitu P(9) = 1/11.
Jadi, P (kelipatan 4 dan nomor 9) = P (kelipatan 4) × P(9) = (2/11) x (1/11) = 2/121
b. Peluang bola bernomor bilangan ganjil adalah
P (ganjil) = 6/11, peluang bola bernomor bilangan genap yaitu P(genap) = 5/11.
Jadi, peluang bola bernomor ganjil dan genap yaitu :
P(ganjil dan genap) = P(ganjil) × P(genap) = (6/11) x (5/11) = 30/121
Contoh Soal 7
Sebuah kotak berisi 11 bola yang bernomor 1 hingga dengan 11. Dua bola diambil dari kotak secara bergantian tanpa pengembalian. Tentukanlah peluang terambilnya bola-bola tersebut bernomor bilangan berikut ini.
a. Genap, lalu ganjil.
b. Ganjil, lalu genap.
c. Kelipatan 3, lalu nomor 8.
Penyelesaian 7
a. Peluang bola bernomor bilangan genap yaitu :
P(genap) = 5/11
Mengingat pengambilan dilakukan tanpa pengembalian, jumlah bola di dalam kotak tinggal 10 buah. Peluang terambil bola bernomor bilangan ganjil yaitu :
P(ganjil | genap) = 6/10.
Jadi, P(bola bernomor bilangan genap lalu ganjil) adalah
P(genap) × P(ganjil | genap) = (5/11) x (6/10) = 30/110 = 6/22.
b. Peluang bola bernomor kelipatan 3 yaitu :
P(kelipatan 3) = 3/11.
Mengingat pengambilan dilakukan tanpa pengembalian, jumlah bola yang tersedia di dalam kotak tinggal 10 buah. Peluang terambil bola bernomor 8 yaitu :
P(8 | kelipatan 3) = 1/10.
Jadi, P (kelipatan 3 lalu nomor 8) adalah
P (kelipatan 3) × P (8 | kelipatan 3) = (3/11) x (1/10) = 3/110.
c. Peluang bola bernomor kelipatan 4 yaitu P(kelipatan 4) = 2/11.
Mengingat pengambilan dilakukan tanpa pengembalian, jumlah bola yang tersedia dalam kotak tinggal 10 buah. Peluang terambil bola bernomor 11 yaitu :
P(11 | kelipatan 4) = 1/10.
P(kelipatan 4 lalu 11) yaitu :
P( kelipatan 4) × P(11 | kelipatan4) = (2/11) x (1/10) = 2/110 = 1/55.
Anda kini sudah mengetahui Kejadian Majemuk. Terima kasih anda sudah berkunjung ke Perpustakaan Cyber.
Referensi :
Djumanta, W. 2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah. Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, Jakarta. p. 250.
No comments:
Post a Comment