Pintar Pelajaran Pola Soal Rumus Persamaan Lingkaran, Pengertian Umum, Sentra O T M, Jari Jari R, Posisi Titik Dan Garis, Pembahasan, Jawaban, Matematika

Contoh Soal Rumus Persamaan Lingkaran, Pengertian Umum, Pusat O T M, Jari jari r,  Posisi Titik dan Garis, Pembahasan, Jawaban, Matematika - Pada penggalan ini, konsep bundar akan dikembangkan pada bentuk umum persamaan bundar dan persamaan garis singgung lingkaran. Konsep bundar sangat penting peranannya dalam ilmu pengetahuan dan teknologi untuk memecahkan suatu persoalan menyerupai berikut.

Gambar 1. Gedung Parthenon. (Foto : Flickr via Wikimedia Commons [1]

Gedung Parthenon dibangun 440 SM. Gedung tersebut dirancang oleh arsitek Yunani dengan memakai perbandingan nisbah emas. Amati gambar berikut.

Pada titik tengah sisi persegi ABCD dibentuk busur bundar dengan sentra G dan jari-jari . Lingkaran tersebut memotong perpanjangan  di F. Nisbah BF : AB disebut perbandingan nisbah emas. Menurut para ahli, perbandingan nisbah emas merupakan perbandingan yang paling yummy dipandang. Jika busur DF memenuhi persamaan x² + y² – 138y – 44 = 0, berapa perbandingan nisbah emas gedung Parthenon?

1. Persamaan Lingkaran

Gambar 2. memperlihatkan irisan kerucut berbentuk lingkaran. Pada gambar itu tampak bahwa bidang datarnya mengiris seluruh penggalan dari selimut dan tegak lurus sumbu kerucut.

Gambar 2. Irisan kerucut berbentuk lingkaran.

Tentunya, Anda masih ingat definisi bundar yang telah dipelajari di SMP. Agar Anda ingat kembali, berikut ini disajikan definisi lingkaran.

Pengertian Lingkaran :

Lingkaran ialah daerah kedudukan titik-titik yang memiliki jarak yang sama terhadap satu titik tertentu.

1.1. Persamaan Lingkaran Berpusat di O (0, 0) dan Berjari-jari r

Amati Gambar 3.

Gambar 3. Lingkaran Berpusat di O (0, 0) dan Berjari-jari r.

Diketahui, titik P(x, y) ialah titik sebarang pada bundar L. Apabila titik P diproyeksikan pada sumbu-x maka diperoleh titik P' sehingga segitiga OPP' ialah segitiga siku-siku di P'.

Pada segitiga OPP' berlaku Teorema Pythagoras sebagai berikut.

OP² = (OP')² + (P'P)²

↔ r² = x² + y²

Lingkaran L sanggup dituliskan sebagai berikut.

L= {(x, y) | x² + y² = r²}

Pandang titik P₁(x₁, y₁) pada ΔOP₁P'₁. Pada segitiga tersebut berlaku x₁² + y₁² = r₁².  

Pandang titik P₂(x₂, y₂) pada ΔOP₂P₂'. Pada segitiga tersebut berlaku x₂² + y₂² = r₂², dan seterusnya. Secara umum untuk setiap titik P(x, y) pada bundar ini berlaku x² + y² = r².

Jadi, persamaan bundar yang berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari r ialah :

x² + y² = r².

Contoh Soal 1

Tentukan persamaan bundar yang berpusat di (0, 0) dengan panjang jari-jari .

Pembahasan 1

Jari-jari r =  sehingga  = 12.

Jadi, persamaan bundar berpusat di (0, 0) dengan jari-jari  adalah x² + y² = 12.

Contoh Soal 2

Tentukan persamaan bundar yang berpusat di titik (0, 0) dan melalui titik (–6, –8).

Penyelesaian 2

Persamaan bundar berpusat di (0, 0) dengan jari-jari r ialah :

x² + y² = r² .... (1)

Oleh lantaran bundar melalui titik (–6, –8) maka dengan mensubstitusikan (–6, –8) pada persamaan (1), diperoleh :

x² + y² = r² 

↔ (–6)² + (–8)² = r²

↔ r²  = 36 + 64 = 100

↔ .r =  =10

Kemudian, r² = 100 substitusikan pada persamaan (1), diperoleh x² + y² = 100.

Jadi, persamaan lingkarannya adalah x² + y² = 100.

1.2. Persamaan Lingkaran dengan Pusat T (a, b) dan Berjari-Jari r

Diketahui, sebuah bundar berpusat di titik T(a,b) dengan jari-jari r menyerupai diperlihatkan pada Gambar 4.

Gambar 4. Lingkaran dengan Pusat T (a, b) dan Berjari-Jari r.

Titik P(x, y) ialah titik sebarang pada lingkaran, garis g ialah garis yang melalui titik sentra T(a, b) dan sejajar dengan sumbu-x. Proyeksi titik P terhadap garis g ialah titik Q sehingga segitiga TPQ siku-siku di Q.

Diketahui jarak TQ = (x – a) dan jarak PQ = (y – b). Pada segitiga TPQ berlaku teorema Pythagoras sebagai berikut.

TP² = TQ² + PQ² ↔ r² = (x – a)² + (y – b)²

Lingkaran L sanggup dituliskan sebagai berikut:

L: {(x, y)(x – a)² + (y – b)² = r²}

Jadi, persamaan bundar yang berpusat di T(a, b) dan berjari-jari r ialah :

(x – a)² + (y – b)² = r²

Selanjutnya, persamaan tersebut dinamakan persamaan bundar standar (baku).

Contoh Soal 3

Tentukan persamaan bundar yang berpusat di (2,–1) dengan jari-jari .

Jawaban 3

Persamaan bundar standar (x – a)² + (y – b)² = r²

Untuk sentra (2,–1) dengan jari-jari  , diperoleh :

(x – 2)² + (y – (–1))² =  ↔ (x – 2 )² + (y + 1)² = 18

Jadi, persamaan lingkarannya adalah (x – 2 )² + (y + 1)² = 18.

Contoh Soal 4

Tentukan persamaan bundar standar dengan sentra T (3,–4) dan menyinggung garis 4x – 3y – 49 = 0.

Penyelesaian 4

Rumus jarak dari titik T (x₁, y₁) ke garis ax + by + c = 0 ialah :

Jarak dari sentra T (3,–4) ke garis 4x – 3y – 49 = 0 ialah jari-jari lingkaran, yaitu :

Jadi, persamaan lingkarannya ialah :

(x – 3)² + (y + 4)² = 25.

1.3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Anda telah mempelajari persamaan bundar yang berpusat di titik T (a, b) dengan jari-jari r, yaitu :

(x – a)² + (y – b)² = r²

Jika persamaan tersebut diuraikan maka diperoleh :

x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² = r²

x² + y² – 2ax – 2by + (a² + b² – r²) = 0

x² + y² + Ax + By + C = 0

dengan A = –2a; B = –2b; dan C = (a² + b² – r²); A, B, dan C bilangan real. Jadi,

x² + y² + Ax + By + C = 0

ialah persamaan bundar yang berpusat di T(a, b) dengan jari-jari r, A = –2a, B = –2b, C = a² + b² – r², A, B, dan C bilangan real.

Cobalah Anda ubah persamaan lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0 ke dalam bentuk kuadrat sempurna. Tuliskan langkah-langkahnya di buku kiprah Anda, kemudian kumpulkan pada guru Anda.

Jika bentuk umum persamaan bundar itu diubah dalam bentuk kuadrat tepat maka diperoleh :

x² + y² + Ax + By + C = 0

(x² + Ax) + (y² + By) = – C

Dari persamaan tersebut, diperoleh sentra lingkaran  dan jari-jari lingkaran 

Contoh Soal 5

Tentukan sentra dan jari-jari lingkaran x² + y² – 4x + 6y – 3 = 0.

Jawaban 5

Bentuk umum persamaan bundar ialah :

x² + y² + Ax + By + C = 0

Dengan demikian, A = –4, B = 6, dan C = –3.

Contoh Soal 6

Tentukan sentra dan jari-jari bundar 2x² + 2y² – 4x –12y = 101.

Penyelesaian 6

Ubahlah persamaan pada soal menjadi bentuk umum, menyerupai berikut.

2x² + 2y² – 4x – 12y – 101 = 0 ↔ x² + y² – 2x – 6y – () = 0

Dengan demikian, A = –2, B = –6, dan C = – ()

1.4. Posisi Titik terhadap Lingkaran

Bentuk geometris persamaan lingkaran (x– 2)² + (y – 2)² = 9 diperlihatkan pada Gambar 5.

Gambar 5. Bentuk geometris persamaan lingkaran (x– 2)² + (y – 2)² = 9.

Pada gambar itu tampak bahwa titik P₁ (1, 3) terletak di dalam lingkaran, titik P₂ (5, 2) terletak pada lingkaran, sedangkan titik P₃ (6, –3) terletak di luar lingkaran.

Anda sanggup mengetahui posisi titik P(x₁, y₁) terhadap bundar yang berpusat di T(a, b) berjari-jari r hanya dengan mengetahui jarak titik P(x₁, y₁) ke sentra bundar T(a, b).

Gambar 6. Posisi titik P(x₁, y₁) terhadap bundar yang berpusat di T(a, b) berjari-jari r.

• Jika jarak titik P(x₁, y₁) ke sentra bundar T(a, b) kurang dari jari-jari bundar maka titik P(x₁, y₁) berada di dalam bundar menyerupai diperlihatkan pada Gambar 6(a). Secara matematis ditulis |PT| < r

(x₁ – a)² + (y₁ – b)² < r² atau,

x₁² + y₁² + Ax₁ + By₁ + C < 0

• Jika jarak titik P(x₁, y₁) ke sentra bundar T(a, b) sama dengan jari-jari bundar maka titik P(x₁, y₁) berada pada bundar menyerupai diperlihatkan pada Gambar 6(b). 

Secara matematis, ditulis |PT| = r

(x₁ – a)² + (y₁ – b)² = r² atau,

x₁² + y₁² + Ax₁ + By₁ + C = 0

• Jika jarak titik P(x₁, y₁) ke sentra bundar T(a, b) lebih dari jari-jari bundar maka titik P(x₁, y₁) berada di luar bundar menyerupai diperlihatkan pada Gambar 6(c).

Secara matematis ditulis |PT| > r

(x₁ – a)² + (y₁ – b)² > r² atau,

x₁² + y₁² + Ax₁ + By₁ + C > 0

Contoh Soal 7

Tentukanlah posisi titik A(5, 1), B(4, –4), dan C(6, 3) terhadap bundar dengan persamaan x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0.

Jawaban 7

Persamaan lingkaran x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0 sanggup diubah sebagai berikut.

x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0

(x² – 4x) + (y² + 6y) – 12 = 0

(x² – 4x + 4) + (y² + 6y + 9) – 12 = 0 + 4 + 9 ... kedua ruas ditambah 4 dan 9

(x – 2)² + (y + 3)² – 12 = 13

(x – 2)2 + (y + 3)² = 25

Titik A (5, 1) terletak pada bundar sebab (5 – 2)² + (1 + 3)² = 25.

Titik B (4, –4) terletak di dalam bundar alasannya :

(4 – 2)² + (–4 + 3)² < 25.

Titik C (6, 3) terletak di luar bundar alasannya :

(6 – 2)² + (3 + 3)² > 25.

1.5. Posisi Garis terhadap Lingkaran

Diketahui garis g: y = mx + n, dan bundar :

L: x² + y² + Ax + By + C = 0.

Perpotongan garis g dengan bundar L ialah :

x² + y² + Ax + By + C = 0

x² + (mx + n)² + Ax + B (mx + n) + C = 0

x² + m²x² + 2mnx + n² + Ax + Bmx + Bn + C = 0

(1 + m²)x² + (2mn + A + Bm)x + n² + Bn + C = 0

Nilai diskriminan persamaan kuadrat tersebut ialah :

D = b² – 4ac

D = (2mn + A + Bm)² – 4(1 + m²) (n² + Bn + C)

• Jika D > 0, diperoleh dua buah akar real yang berlainan.

Secara geometris, garis g: y = mx + n akan memotong lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0 di dua titik yang berlainan, menyerupai pada Gambar 7(a).

• Jika D = 0, diperoleh dua buah akar real yang sama.

Secara geometris, garis g: y = mx + n akan memotong lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0, di satu titik. Dikatakan garis g menyinggung bundar tersebut, menyerupai diperlihatkan pada Gambar 7(b).

• Jika D < 0, diperoleh dua buah akar imajiner yang berlainan. Secara geometris, garis g : y = mx + n tidak memotong atau menyinggung lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0 menyerupai diperlihatkan pada Gambar 7(c).

Gambar 7. Posisi Garis terhadap Lingkaran.

Contoh Soal 8

Diketahui garis lurus g dengan persamaan y = mx + 2 dan bundar L dengan persamaan x² + y² = 4. Agar garis g memotong bundar L di dua titik yang berbeda, tentukan nilai m yang memenuhi.

Jawaban 8

y = mx + 2 ; maka, y² = (mx + 2)² = m² x² + 4m x + 4

x² + y² = 4 ↔ x² + m²x² + 4mx + 4 = 4

↔ (1 + m2)x² + 4mx = 0

Diskriminan D = (4m)² – 4 (1 + m²) (0)

D = 16 m²

Agar garis g memotong bundar L di dua titik maka haruslah D > 0.

Dengan demikian, 16m² > 0

↔ m² > 0

↔ m > 0

Jadi, nilai m yang memenuhi ialah m > 0.

2. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Anda kini sudah mengetahui Persamaan Lingkaran. Terima kasih anda sudah berkunjung ke Perpustakaan Cyber.

Referensi :

Djumanta, W. 2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah. Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, Jakarta. p. 250.

Referensi Lainnya :

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/File:The_Parthenon_in_Athens.jpg